Chứng minh H là trung điểm BC biết tam giác ABC cân tại A, AH vuông BC

a) Hình vẽ

b) Xét \(\Delta ABH,\Delta ACH\) có :

\(\widehat{ABH}=\widehat{ACH}\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)

\(AB=AC\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)

\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\left(=90^o\right)\)

=> \(\Delta ABH=\Delta ACH\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> BH = CH (2 cạnh tương ứng)

=> H là trung điểm của BC

c) Ta có : \(BH=CH=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}.6=3\left(cm\right)\)

Xét \(\Delta AHB\perp H\) có :

\(AB^2=AH^2+BH^2\) (Định lí PITAGO)

=> \(AB^2=4^2+3^2=25\)

=> \(AB=\sqrt{25}=5\left(cm\right)\)

Vậy cạnh AB dài 5cm.

d) Nếu \(\widehat{HAC}=30^o\) thì :

\(\Leftrightarrow\widehat{HAC}=\widehat{HAB}=30^o\) (\(\Delta ABH=\Delta ACH\))

\(\Leftrightarrow\widehat{BAC}=\widehat{HAB}+\widehat{HAC}=60^o\)

Xét \(\Delta ABC\) có :

\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180^o\) (tổng 3 góc của 1 tam giác)

=> \(60^o+\widehat{ACB}+60^o=180^o\)

=> \(\widehat{ACB}=180^o-\left(60^o+60^o\right)=60^o\)

Có : \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\widehat{BAC}=60^o\)

=> \(\Delta ABC\) là tam giác đều.