Chứng minh góc ECB=DKC biết tam giác ABC cân tại A có góc A < 90 độ, BD vuông góc AC

a) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACE\) có :

\(\widehat{ADB}=\widehat{AEC}\left(=90^o\right)\)

AB = AC ( do \(\Delta ABC\) cân tại A )

\(\widehat{A}\) : góc chung

do đó \(\Delta ABD=\Delta ACE\) ( cạnh huyền - góc nhọn )

b) Có AE = AD ( 2 cạnh tương ứng của \(\Delta ABD=\Delta ACE\) )

hay \(\Delta AED\) cân tại A ( dấu hiệu nhận biết \(\Delta\) cân )

Có AB = AE + BE

AC = AD + DC

mà AB = AC ( do \(\Delta ABC\) cân tại A )

AE = AD ( do \(\Delta AED\) cân tại A )

\(\Rightarrow\) BE = DC

\(\widehat{EHC}=\widehat{CHD}\) ( 2 góc đối đỉnh )

\(\widehat{BEH}=\widehat{CDH}\left(=90^o\right)\)

do đó \(\Delta EHB=\Delta CHD\) ( cạnh góc vuông - góc nhọn )

\(\Rightarrow\) HE = HD ( 2 cạnh tương ứng )

lại có AE = AD ( do \(\Delta AED\) cân tại A )

\(\Rightarrow\) AH là đường trung trực của ED

Xét \(\Delta DBC\) và \(\Delta DKC\) có :

\(\widehat{CDB}=\widehat{CDK}\left(=90^o\right)\)

DC : cạnh chung

BD = DK ( gt )

do đó \(\Delta DBC=\Delta DKC\) ( 2 cạnh góc vuông )

\(\Rightarrow\) \(\widehat{DBC}=\widehat{DKC}\) ( 2 góc tương ứng ) ( 1)

Có HB = HC ( 2 cạnh tương ứng của \(\Delta EHB=\Delta CHD\) )

hay \(\Delta BHC\) cân tại H ( dấu hiệu nhận biết \(\Delta\) cân )

\(\Rightarrow\widehat{HBC}=\widehat{HCB}\) ( tính chất \(\Delta\) cân ) (2)

Từ ( 1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{ECB}=\widehat{DKC}\)