Chứng minh góc BMC=120 độ biết tam giác ABC nhọn, các tam giác ABD và ACE đều

Ta có : \(\Delta ABD\) đều

\(\Rightarrow\widehat{A_2}=60^o\)

\(\Delta ACE\) đều

\(\Rightarrow\widehat{A_3}=60^o\)

\(\Rightarrow\widehat{A_2}=\widehat{A_3}\)

Ta lại có : \(\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=\widehat{DAC}\)

\(\widehat{A_1}+\widehat{A_3}=\widehat{BAE}\)

Mặt khác \(\widehat{A_1}chung\)

\(\widehat{A_2}=\widehat{A_3}\) (cmt)

Do đó : \(\widehat{BAE}=\widehat{DAC}\)

Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ADC\) có:

\(AB=AD\) ( \(\Delta ABD\) đều)

\(\widehat{BAE}=\widehat{DAC}\)

\(AE=AC\)(\(\Delta ACE\) đều)

Do đó : \(\Delta ABE=\Delta ADC\)

\(\Rightarrow\widehat{AEB}=\widehat{ACD}\) ( hai góc tương ứng )

b) Gọi giao điểm của AC và BE là F

Trong \(\Delta AFE\) có :

\(\widehat{A_3}+\widehat{AFE}+\widehat{E}=180^o\) ( định lí )

Trong \(\Delta MFC\) có :

\(\widehat{MFC}+\widehat{FMC}+\widehat{FCM}=180^o\) ( định lí )

Mặt khác

\(\widehat{E}=\widehat{FCM}\)( theo câu a )

\(\widehat{MFC=}\widehat{AFE}\) ( hai góc đối đỉnh )

\(\Rightarrow\widehat{FMC}=\widehat{A_3}\)

Mà \(\widehat{A_3}=60^o\)(\(\Delta ACE\)đều )

\(\Rightarrow\)\(\widehat{FMC}=60^o\)

Ta lại có : \(\widehat{FMC}+\widehat{BMC}=180^o\)( hai góc kề bù )

hay \(60^o+\widehat{BMC}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BMC}=180^o-60^o=120^o\)(đpcm)