Chứng minh F, D, E thẳng hàng biết trên tia AB lấy điểm F sao cho AF=AC

a) Xét \(\Delta ABD;\Delta AED\) có :

\(AB=AE\left(gt\right)\)

\(\widehat{BAD}=\widehat{EAD}\) (AD là tia phân giác)

\(AD:chung\)

=> \(\Delta ABD=\Delta AED\left(c.g.c\right)\)

=> \(BD=ED\) ( 2 cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta AFD;\Delta ACD\) có :

\(AF=AC\left(gt\right)\)

\(\widehat{FAD}=\widehat{CAD}\) ( AD là tia phân giác)

\(AD:chung\)

=> \(\Delta AFD=\Delta ACD\left(c.g.c\right)\)

=> \(\widehat{AFD}=\widehat{ACD}\) ( 2 góc tương ứng)

=> \(FD=DC\) ( 2 cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta BDF;\Delta EDC\) có :

\(BD=DE\left(cmt\right)\)

\(\widehat{BFD}=\widehat{ECD}\) (do \(\widehat{AFD}=\widehat{ACD}\) - cmt)

\(FD=DC\left(cmt\right)\)

=> \(\Delta BDF=\Delta EDC\left(c.g.c\right)\)

b) Từ \(\Delta BDF=\Delta EDC\left(cmt\right)\)

=> \(BF=EC\) ( 2 cạnh tương ứng)

c) Từ \(\Delta BDF=\Delta EDC\left(cmt\right)\) - câu a

=> \(\widehat{BDF}=\widehat{EDC}\) (2 góc tương ứng)

Mà : 2 góc này đối đỉnh

=> \(\widehat{FDE}=180^o\) (góc bẹt)

=> F , D, E thẳng hàng (đpcm)

d) Theo giả thiết ta có :

\(AF=AC\)

=> \(\Delta AFC\) cân tại A

Mà có : AD là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\) (gt)

=> AD đồng thời là đường trung trực của \(\Delta AFC\)

Nên : \(AD\perp FC\left(đpcm\right)\)