Chứng minh F, D, E thẳng hàng biết AD là tia phân giác góc A, AE=AB, AF=AC

a) Xét \(\Delta ABD,\Delta AED\) có :

\(AB=AE\left(gt\right)\)

\(\widehat{BAD}=\widehat{EAD}\) (AD là tia phân giác của \(\widehat{A}\))

\(AD:chung\)

=> \(\Delta ABD=\Delta AED\left(c.g.c\right)\)

Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABD}+\widehat{DBF}=180^o\\\widehat{AED}+\widehat{DEC}=180^o\end{matrix}\right.\left(Kềbù\right)\)

Lại có : \(\widehat{ABD}=\widehat{AED}\) (\(\Delta ABD=\Delta AED\))

Nên : \(180^o-\widehat{ABD}=180^o-\widehat{AED}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{DBF}=\widehat{DEC}\)

Xét \(\Delta BDF,\Delta EDC\) có :

\(\widehat{BDF}=\widehat{EDC}\) (đối đỉnh)

\(BD=ED\) (\(\Delta ABD=\Delta AED\))

\(\widehat{DBF}=\widehat{DEC}\left(cmt\right)\)

=> \(\Delta BDF=\Delta EDC\left(c.g.c\right)\)

=> đpcm

b) Từ \(\Delta BDF=\Delta EDC\) suy ra :

\(FD=ED\) (2 cạnh tương ứng)

=> D là trung điểm của FE

=> F, D, E thẳng hàng

c) Ta gọi : \(AD\cap FC=\left\{H\right\};H\in FC\)

Xét \(\Delta AFH,\Delta ACH\) có :

\(AF=AC\left(gt\right)\)

\(\widehat{FAH}=\widehat{CAH}\) (AD là tia phân giác của \(\widehat{A}\) ; \(H\in AD\))

AH : Chung

=> \(\Delta AFH=\Delta ACH\left(c.g.c\right)\)

=> \(\widehat{AHF}=\widehat{AHC}\) (2 góc tương ứng)

Mà : \(\widehat{AHF}+\widehat{AHC}=180^o\left(Kèbù\right)\)

=> \(\widehat{AHF}=\widehat{AHC}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\)

\(\Rightarrow AH\perp FC\)

Hay : \(AD\perp FC\rightarrowđpcm\)