Chứng minh EK=EC biết tam giác ABC có góc A=90 độ, AB < AC, phân giác BE

Bài 4 :

a) Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta HBE\) , có :

BE là cạnh chung

AB = BH (gt)

\(\widehat{ABE}=\widehat{HBE}\) ( BE là tia phân giác của \(\widehat{B}\) )

=> \(\Delta ABE\) = \(\Delta HBE\) ( cạnh huyền - góc nhọn )

=> \(\widehat{BAE}=\widehat{BHE}\) =90⁰

Vậy EH \(\perp BC\)

b)

Xét \(\Delta ABI\) và \(\Delta HBI\) , có :

BI là cạnh chung

AB = BH (gt)

\(\widehat{ABE}=\widehat{HBE}\) ( BE là tia phân giác của \(\widehat{B}\) )

=> \(\Delta ABI\) = \(\Delta HBI\) ( cạnh huyền - góc nhọn )

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}AI=HI\\\widehat{AIB}=\widehat{HIB}\end{matrix}\right.\)

Mà \(\widehat{AIB}\) và \(\widehat{HIB}\) là 2 góc kề bù

=> \(\widehat{AIB}\) = \(\widehat{HIB}\) =\(\frac{180^0}{2}\) =90⁰

Vậy BI là đương trung trực của AH hay BE là đường trung trực của AH

c)

Xét \(\Delta AEK\) và \(\Delta HEC\) , có :

\(\widehat{AEK}=\widehat{HEC}\) ( 2 góc đối đỉnh )

AE = HE ( \(\Delta ABE=\Delta HBE\) )

\(\widehat{EAK}=\widehat{EHC}=90^0\)

=> \(\Delta AEK\) = \(\Delta HEC\) ( c.g.c)

=> EK = EC