Chứng minh EH vuông góc BC biết điểm H thuộc BC sao cho BH=BA

a) Xét \(\Delta ABE,\Delta HBE\) có:

\(AB=BH\left(gt\right)\)

\(\widehat{ABE}=\widehat{HBE}\) (BE là tia phân giác của \(\widehat{B}\) )

\(BE:Chung\)

=> \(\Delta ABE=\Delta HBE\left(c.g.c\right)\)

=> \(\widehat{BAE}=\widehat{BHE}=90^o\) (2 góc tương ứng)

Do đó: \(EH\perp BC\) (đpcm)

b) Xét \(\Delta ABH\) có:

\(AB=BH\left(gt\right)\)

=> \(\Delta ABH\) cân tại B

Mà thấy : BE là tia phân giác của \(\widehat{B}\) (gt)

Suy ra : BE đồng thời là đường trung trực trong \(\Delta ABH\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AE=EH\\BE\perp AH\end{matrix}\right.\) (tính chất đường trung trực)

Do đó : BE là đường trung trực của AH => đpcm

c) Ta chứng minh được : \(\Delta BEK=\Delta BEC\left(c.g.c\right)\)

Suy ra : \(EK=EC\left(đpcm\right)\)

d) Xét \(\Delta BAH\) cân tại B (cmt) có :

\(\widehat{BAH}=\widehat{BHA}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{B}}{2}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta BKC\) có :

\(BK=BC\)[ \(\Delta BEK=\Delta BEC\left(cmt\right)\)]

=> \(\Delta BKC\) cân tại B

Ta có: \(\widehat{BKC}=\widehat{BCK}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{B}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{BAH}=\widehat{BKC}\left(=\dfrac{180^{^O}-\widehat{B}}{2}\right)\)

Lại thấy rằng : 2 góc này ở vị trí đồng vị

=> \(AH//KC\left(đpcm\right)\)

e) Xét \(\Delta EKC\) có :

\(EK=EC\left(câuc\right)\)

=> \(\Delta EKC\) cân tại E

Mà có : EM là trung tuyến trong \(\Delta EKC\) (KM = MC)

=> E, M thẳng hàng (3)

Lại có : BE là trung trực trong \(\Delta ABH\) (câub)

=> B,E thẳng hàng (4)

Từ (3) và (4) => \(B,E,M\) thẳng hàng (đpcm)