Chứng minh DF=1/2 AC biết đường thẳng qua D song song với BC cắt AC tại E

a) Vì DE//BC (gt) nên EDF=BFD (slt)
Vì EF//AB (gt) nên BDF=DFE (slt)
Xét tam giác BDF và tam giác EFD, có:
BFD=EDF (cmt)
DF là cạnh chung
BDF=DFE (cmt)
Do đó tam giác BDF= tam giác EFD (g.c.g)
=>BD=EF ( hai cạnh tương ứng)
Vậy BD=EF
b) Từ tam giác BDF=tam giác EFD (cmt)
=> BD=EF ( hai cạnh tương ứng)
Mà BD=DA ( do D là trung điểm của AB)
=> EF=DA
Vì EF//AB (gt) nên FEC=DAE (slt); EFC=DBF (đồng vị)(*)
Vì DE//BC (gt) nên ADE=DBF (đồng vị)(**)
Từ (*) và (**) suy ra EFC=ADE
Xét tam giác FEC và tam giác DAE, có:
EFC=ADE(cmt)
EF=DA (cmt)
FEC=DAE (cmt)
Do đó tam giác FEC= tam giác DAE (g.c.g)
=> EC=AE (hai cạnh tương ứng)
=> E là trung điểm của AC
Vậy E là trung điểm của AC (đpcm)
c) Vì AD//EF(gt) nên ADE=FED (cmt)
Xét tam giác DEF và tam giác EDA, có:
EF=AD(cmt)
FED=ADE(cmt)
DE là cạnh chung
Do đó tam giác DEF= tam giác EDA (c.g.c)
=>FDE=DEA ( hai góc tương ứng)
Mặt khác chúng lại ở vị trí so le trong nên suy ra DF//AC
Vậy DF//AC (đpcm)
d)Vì DF//AC (cmt) nên DBF=EFC (đồng vị)
FEC=DFE(slt)(1)
Vì EF//AB(gt) nên DFE=BDF(slt)(2)
Từ (1) và (2) suy ra FEC=BDF
Xét tam giác BDF và tam giác FEC, có:
BDF=FEC(cmt)
BD=EF(cmt)
DBF=EFC(cmt)
Do đó tam giác BDF=tam giác FEC(g.c.g)
=>DF=EC(hai cạnh tương ứng)
Mà EC=1/2 AC (do E là trung điểm của AC)
=> DF=1/2.AC
Vậy DF=1/2.AC (đpcm)
(hình bạn tự vẽ nha)