Chứng minh DE vuông góc BC và EF//DA biết BD là tia phân giác của góc ABC

a) Xét \(\Delta\)ABD và \(\Delta\)EBD có:

AB = EB (gt)

\(\widehat{ABD}\) = \(\widehat{EBD}\) (BD là tia pg của \(\widehat{ABC}\))

BD chung

=> \(\Delta\)ABD = \(\Delta\)EBD (c.g.c)

b) Vì \(\Delta\)ABD = \(\Delta\)EBD nên \(\widehat{BAD}\) = \(\widehat{BED}\) (2 góc tương ứng)

mà \(\Delta\)ABC vuông tại A nên \(\widehat{BAD}\) = 90^o nên \(\widehat{BED}\) = 90^o

Do đó DE \(\perp\) BC. \(\rightarrow\) đpcm

Ta có: \(\left\{\begin{matrix}EF\perp AB\\DA\perp AB\end{matrix}\right.\) => EF // AD \(\rightarrow\) đpcm

c) Do EF // AD nên \(\widehat{FEI}\) = \(\widehat{IKD}\) và \(\widehat{EFI}\) = \(\widehat{IDK}\) (so le trong)

Xét \(\Delta\)FEI và \(\Delta\)DKI có:

\(\widehat{FEI}\) = \(\widehat{IKD}\) (cm trên)

FE = DK (gt)

\(\widehat{EFI}\) = \(\widehat{KDI}\) (cm trên)

=> \(\Delta\)FEI = \(\Delta\)DKI (g.c.g)

=> \(\widehat{FIE}\) = \(\widehat{DIK}\) (2 góc tương ứng) (1)

mà \(\widehat{FIE}\) + \(\widehat{EID}\) = 180^o (kề bù) (2)

Thay (1) vào (2) ta được:

\(\widehat{DIK}\) + \(\widehat{EID}\) = 180^o

mà 2 góc này kề nhau nên E, I, K thẳng hàng.