Chứng minh DE song song với BC biết ABC cân có AB=AC, BD=CE

a) Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\left(gt\right)\\BD=CE\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)

Lại có : \(\left\{{}\begin{matrix}D\in AB\\E\in AC\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AD=AB+DB\\AE=AC+CE\end{matrix}\right.\)

Suy ra : \(AD=AE\left(AB+DB=AC+CE\right)\)

Xét \(\Delta ADE\) có :

AD = AE (cmt)

=> \(\Delta ADE\) cân tại A

Ta có : \(\widehat{ADE}=\widehat{AED}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta ABC\) có :

AB = AC (gt)

=> \(\Delta ABC\) cân tại A

Ta có: \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\left(=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\right)\)

Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị

Do đó , \(DE//BC\left(đpcm\right)\)

b) Ta có : \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (ΔABC cân tại A)

Mà : \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABC}=\widehat{MBC}\\\widehat{ACB}=\widehat{NCE}\end{matrix}\right.\) (đối đỉnh)

Suy ra : \(\widehat{MBC}=\widehat{NCE}\)

Xét \(\Delta DBM,\Delta ECN\) có :

\(\widehat{MBC}=\widehat{NCE}\left(cmt\right)\)

\(DB=CE\left(gt\right)\)

\(\widehat{BMD}=\widehat{CNE}\left(=90^o\right)\)

=> \(\Delta DBM=\Delta ECN\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> DM = EN (2 cạnh tương ứng)

c) Ta có : \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (ΔABC cân tại A)

Lại có : \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABC}+\widehat{ABM}=180^{^O}\\\widehat{ACB}+\widehat{ACN}=180^{^O}\end{matrix}\right.\left(kềbù\right)\)

Suy ra : \(180^o-\widehat{ABC}=180^{^O}-\widehat{ACB}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)

Xét \(\Delta ABM,\Delta ACN\) có :

\(AB=AC\left(gt\right)\)

\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\left(cmt\right)\)

\(MB=NC\) (từ \(\Delta DBM=\Delta ECN\))

=> \(\Delta ABM=\Delta ACN\left(c.g.c\right)\)

=> \(AM=AN\) (2 cạnh tương ứng)

Do đó: \(\Delta AMN\) cân tại A (đpcm)