Chứng minh DE +DF = BH biết DE vuông góc với AC, DF vuông góc với AD

Như bn ns, mk sẽ sửa lại như sau: "DF vuông góc với AD" \(\rightarrow DF\perp AB\)

BL:

Hình tự vẽ.

Trên tia đối của tia DE lấy O sao cho OE = BH.

Nối B với E; B với O.

Ta có: \(\left[\begin{matrix}BH\perp AC\\OE\perp AC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BH\) // \(OE\)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{HBE}=\widehat{OEB}\) (so le trong)

Xét \(\Delta BHE\) và \(\Delta EOB\) có:

BH = OE

\(\widehat{HBE}=\widehat{OEB}\) (c/m trên)

BE chung

\(\Rightarrow\Delta BHE=\Delta EOB\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BHE}=\widehat{EOB}=90^o\) (2 góc t/ư)

Do đó \(\Delta BOD\) vuông tại O.

Lại có: \(\left[\begin{matrix}OE\perp EC\\OE\perp BO\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow EC\) // \(BO\)

\(\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{DBO}\) (so le trong)

mà \(\Delta ABC\) cân tại A \(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

\(\Rightarrow\widehat{DBO}=\widehat{ABC}\) hay \(\widehat{DBO}=\widehat{DBF}\)

Xét \(\Delta DFB\) vuông tại F và \(\Delta DOB\) vuông tại O có:

BD chung

\(\widehat{DBF}=\) \(\widehat{DBO}\) (c/m trên)

\(\Rightarrow\Delta DFB=\Delta DOB\left(ch-gn\right)\)

\(\Rightarrow DF=DO\) (2 cạnh t/ư)

Lại có: OE = DE + DO

mà DO = DF; OE = BH

\(\Rightarrow DE+DF=BH\)