Chứng minh D là trung điểm của MC biết D là giao điểm của BE và MC

a. Áp dụng định lí Pytago vào \(\Delta ABC\left(\widehat{BAC}=90^o\right)\) ta có:

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{16^2+12^2}=\sqrt{256+144}=\sqrt{400}=20\left(cm\right)\)

Vậy BC = 20 cm

b. Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta AME\) có:

AB = AM (gt)

\(\widehat{BAE}=\widehat{MAE}\left(=90^o\right)\)

AE chung

\(\Rightarrow\Delta ABE=\Delta AME\left(c.g.c\right)\)

c. Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta AMC\) có:

AC chung

\(\widehat{BAC}=\widehat{MAC}\left(=90^o\right)\)

AB = AM (gt)

\(\Rightarrow\Delta ABC=\Delta AMC\left(c.g.c\right)\)

Xét \(\Delta CME\) và \(\Delta CBE\) có:

\(CM=BC\left(\Delta AMC=\Delta ABC\right)\)

\(ME=BE\left(\Delta AME=\Delta ABE\right)\)

CE chung

\(\Rightarrow\Delta CME=\Delta CBE\left(c.c.c\right)\)

d. Xét \(\Delta BCM\) có: AC là đường trung tuyến

Mà \(E\in AC,AE=\dfrac{1}{3}AC\left(AE=4cm,AC=12cm\right)\)

\(\Rightarrow\) E là trọng tâm của \(\Delta BCD\)

\(\Rightarrow\) BD đi qua trung điểm của CM mà \(BE\cap MC=\left\{D\right\}\)

\(\Rightarrow\) D là trung điểm của MC

e. Ta có: AB = AM = 16cm (gt)

\(\Rightarrow BM=16\cdot2=32\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow S_{BCM}=\dfrac{1}{2}AC\cdot BM=\dfrac{1}{2}\cdot12\cdot32=192\left(cm^2\right)\)

\(S_{BEM}=\dfrac{1}{2}AE\cdot MB=\dfrac{1}{2}\cdot4\cdot32=64\left(cm^2\right)\)

Vì E là trọng tâm của \(\Delta BCM\) nên: CE = 2 AE

\(\Rightarrow S_{CME}=2S_{AME}\) (vì đáy CE=2AE, chung chiều cao kẻ từ M)

Ta có: \(S_{AME}=\dfrac{1}{2}AE\cdot AM=\dfrac{1}{2}\cdot4\cdot16=32\left(cm^2\right)\)

\(\Rightarrow S_{CME}=2S_{AME}=2\cdot32=64\left(cm^2\right)\)

Vì D là trung điểm của CM nên: CD=MD

\(\Rightarrow S_{CDE}=S_{MDE}\) (vì đáy CD=MD, chung chiều cao kẻ từ E)

Mà \(S_{CDE}+S_{MDE}=S_{CME}\)

\(\Rightarrow S_{CDE}=S_{MDE}=\dfrac{1}{2}\cdot S_{CME}=\dfrac{1}{2}\cdot64=32\left(cm^2\right)\)

Vậy \(S_{BCM}=192cm^2;S_{BEM}=64cm^2;S_{CME}=64cm^2;S_{CDE}=32cm^2\)