Chứng minh BN=BH biết tam giác ABC có B=2C, AH vuông góc BC

Lời giải:

Đặt \(\angle C=\alpha\Rightarrow \angle B=2\alpha\)

Trên tia đối của của tia $MH$ lấy $L$ sao cho \(MH=ML\)

Xét tam giác $AML$ và $CMH$ có:

\(\left\{\begin{matrix} AM=CM\\ ML=MH\\ \angle AML=\angle CMH\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle AML=\triangle CMH(c.g.c)\)

\(\Rightarrow AL=CH; \angle LAM=\angle HCM\). Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(AL\parallel CH\Rightarrow \angle LAH=180^0-\angle AHC=90^0\)

Xét tam giác $LAH$ và tam giác $CHA$ có:

\(\left\{\begin{matrix} \text {AH chung}\\ \angle LAH=\angle CHA=90^0\\ LA=CH\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle LAH=\triangle CHA(c.g.c)\)

\(\Rightarrow LH=CA\Leftrightarrow 2MH=2MC\Leftrightarrow MH=MC\)

Do đó tam giác $MHC$ cân tại $M$

\(\Rightarrow \angle MCH=\angle MHC\)

Mà \(\angle MHC=\angle BHN\) (đối đỉnh) nên \(\angle MCH=\angle BHN=\alpha\)

Ta thấy \(\angle ABC=\angle BNH+\angle BHN\)

\(\Leftrightarrow 2\alpha=\angle BNH+\alpha\Leftrightarrow \angle BNH=\alpha\)

Do đó: \(\angle BHN=\angle BNH\). Suy ra tam giác $BNH$ cân tại $B$

Từ đây thu được \(BN=BH\) (đpcm)