Chứng minh BN//AC biết HM vuông góc với AC tại M và HN=HM

Tự vẽ hình

a) Vì tam giác ABC cân tại A

=> AB = AC và Góc ABC = Góc ACB

Xét tam giác AHC và tam giác AHB, ta có:

Góc AHB = AHC ( = 90 độ )

AB = AC (cmt)

Góc ABC = Góc ACB ( cmt)

=> Tam giác AHC = Tam giác AHB ( ch-gn )

b) Vì tam giác AHC = Tam giác AHB ( câu a )

=> BH = HC ( Hai cạnh tương ứng )

Xét tam giác BHN và tam giác CHM, ta có:

BH = HC ( cmt )

Góc BHN = Góc CHM ( Hai góc đối đỉnh )

HN = HM ( gt )

=> Tam giác BHN = Tam giác CHM ( c-g-c )

=> Góc HMC = Góc BNH ( Hai góc tương ứng )

Mà góc HMC và góc BNH là hai góc so le trong

=> BN // AC

c) Xét tam giác MHC và tam giác QHB, ta có:

Góc HMC = Góc HQB ( = 90 độ )

Góc MCH = Góc QBH ( do tam giác ABC cân tại A )

HC = HB ( câu b )

=> Tam giác MHC = Tam giác QHB ( ch-gn )

=> Góc MHC = Góc QHB

Mà góc MHC = Góc BHN ( Hai góc đối đỉnh )

=> Góc QHB = Góc BHN

Xét tam giác AQH và tam giác AMH, ta có:

Góc AQH = Góc AMH ( = 90 độ )

AH là cạnh huyền chung

Góc QAH = Góc MAH ( vì tam giác ABH = tam giác ACH )

=> Tam giác AQH = Tam giác AMH ( ch-gn )

=> QH = HM ( Hai cạnh tương ứng )

Mà HM = HN ( gt )

=> QH = HN

Gọi K là trung điểm của QN

Xét tam giác KHQ và tam giác KHN, ta có:

HQ = HN ( cmt )

Góc QHB = Góc BHN ( cmt )

HK là cạnh chung

=> Tam giác KHQ = Tam giác KHN ( c-g-c )

=> Góc QKH = Góc NKH ( Hai góc tương ứng ) và QK = QN ( Hai cạnh tương ứng )

Mà góc QKH và góc NKH là hai góc kề bù

=> Góc QKH = Góc NKH = 180/2 = 90 độ

=> HK là đường trung trực của QN

Hay BC là đường trung trực của QN