Chứng minh BM vuông góc CM biết tam giác ABC có góc A < 90 độ, tam giác ABM và CAN vuông cân tại A

a) Vì \(\Delta ABM\) vuông cân tại A \(\Rightarrow AB=AM\) và \(\widehat{BAM}=90^o\)

\(\Delta CAN\) vuông cân tại A \(\Rightarrow AC=AN\) và \(\widehat{CAN}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{CAN}\)

Ta có: \(\widehat{BAM}+\widehat{BAC}=\widehat{MAC}\)

\(\widehat{CAN}+\widehat{BAC}=\widehat{NAB}\)

\(\Rightarrow\widehat{MAC}=\widehat{NAB}\)

Xét \(\Delta AMC\) và \(\Delta ABN\) có:

AM = AB (c/m trên)

\(\widehat{MAC}=\widehat{NAB}\) (c/m trên)

AC = AN (c/m trên)

\(\Rightarrow\Delta AMC=\Delta ABN\left(c.g.c\right)\)

b) Gọi giao điểm của AB và CM là E

giao của BN và CM là O

Vì \(\Delta AMC=\Delta ABN\)

\(\Rightarrow\widehat{AMC}=\widehat{ABN}\) (2 góc t/ư) hay \(\widehat{AME}=\widehat{EBO}\)

Áp dụng t/c tổng 3 góc trong 1 t/g ta có:

_ Vào \(\Delta EAM\) có:

\(\widehat{AME}+\widehat{MAE}+\widehat{MEA}=180^o\)(1)

_ Vào \(\Delta BEO\) có:

\(\widehat{EBO}+\widehat{BOE}+\widehat{BEO}\) = 180^o (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(\widehat{AME}+\widehat{MAE}+\widehat{MEA}=\) \(\widehat{EBO}+\widehat{BOE}+\widehat{BEO}\)

mà \(\widehat{AME}=\widehat{EBO}\) (c/m trên); \(\widehat{MEA}=\widehat{BEO}\) (đối đỉnh)

\(\Rightarrow\widehat{MAE}=\widehat{BOE}=90^o\)

Do đó \(BN\perp CM\).