Chứng minh BI vuông góc EC biết tam giác ABE cân ở B và AI=BC

1.

HB = HC ( H là trung điểm BC )

\(\Rightarrow\) AH là đường trung tuyến của ΔABC

mà ΔABC cân tại A

\(\Rightarrow\) AH đồng thời là đường cao \(\Rightarrow\) \(\widehat{AHB}\) = 90\(^O\)

Ta có :

\(\widehat{BAI}\) = \(\widehat{ABH}\) + \(\widehat{AHB}\) ( góc ngoài của ΔAHB )

mà \(\widehat{AHB}\) = 90\(^O\) (cmt)

\(\Rightarrow\)\(\widehat{BAI}\)= \(\widehat{ABH}\) + 90\(^O\)

\(\widehat{EBC}\) = \(\widehat{ABC}\) + \(\widehat{ABE}\)

mà \(\widehat{ABE}\) = 90\(^O\) ( ΔABE vuông cân tại B )

\(\Rightarrow\) \(\widehat{EBC}\) = \(\widehat{ABC}\) + 90\(^O\)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{BAI}\) = \(\widehat{EBC}\)

Xét ΔABI và ΔBEC có :

AB = BE ( ΔABE vuông cân tại B )

\(\widehat{BAI}\) = \(\widehat{EBC}\) ( cmt )

AI = BC (gt)

\(\Rightarrow\) ΔABI = ΔBEC ( c.g.c )

\(\Rightarrow\) \(\widehat{AIB}\) = \(\widehat{BCE}\) ( hai góc tương ứng )

IB \(\cap\) EC = \(\left\{O\right\}\)

\(\widehat{AIB}\) + \(\widehat{IBH}\) = 90\(^O\) ( tính chất Δvuông )

mà \(\widehat{AIB}\) = \(\widehat{BCE}\) (cmt)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{BCE}\) + \(\widehat{IBH}\) = 90\(^O\)

hay BO \(\perp\) EC

mà BO \(\equiv\) BI \(\Rightarrow\) BI \(\perp\) EC