Chứng minh BI=CI biết tam giác ABC cân tại A và AI vuông góc BC

a) Xét \(\Delta ABI,\Delta ACI\) có :

\(\widehat{ABI}=\widehat{ACI}\) (ΔABC cân tại A)

\(AB=AC\) (ΔABC cân tại A)

\(\widehat{AIB}=\widehat{AIC}\left(=90^o\right)\)

=> \(\Delta ABI=\Delta ACI\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> \(BI=CI\) (2 cạnh tương ứng)

b) Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\left(\text{ΔABC cân tại A}\right)\\AE=AF\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)

Lại có : \(\left\{{}\begin{matrix}E\in AB\\F\in AC\end{matrix}\right.\left(gt\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=AE+BE\\AC=AF+FC\end{matrix}\right.\)

Nên : \(AB-AE=AC-AF\)

\(\Leftrightarrow BE=CF\)

Xét \(\Delta EBI,\Delta FCI\) có :

\(BI=CI\)(cm câu a)

\(\widehat{EBI}=\widehat{FCI}\) (ΔABC cân tại A)

\(BE=CF\left(cmt\right)\)

=> \(\Delta EBI=\Delta FCI\left(c.g.c\right)\)

=> \(IE=IF\) (2 cạnh tương ứng)

=> ΔIEF cân tại I

c) Xét \(\Delta AEF\) có :

\(AE=AF\left(gt\right)\)

=> \(\Delta AEF\) cân tại A

Ta có : \(\widehat{AEF}=\widehat{AFE}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\) (Tổng 3 góc của 1 tam giác) (1)

Xét \(\Delta ABC\) cân tại A có :

\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\) (Tổng 3 góc của 1 tam giác) (2)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\left(=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\right)\)

Mà thấy: 2 góc này ở vị trí đồng vị

Do đó, \(EF//BC\left(đpcm\right)\).