Chứng minh BH//KC biết tam giác ABC vuông tại B có AI là tia phân giác của BAC

a) Xét \(\Delta ABI,\Delta AHI\) có:

\(\widehat{ABI}=\widehat{AHI}\left(=90^o\right)\)

\(AI:Chung\)

\(\widehat{BAI}=\widehat{HAI}\) (AI là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\))

=> \(\Delta ABI=\Delta AHI\) (cạnh huyền -góc nhọn) (*)

b) Xét \(\Delta ABC,\Delta AHK\) có:

\(\widehat{A}:Chung\)

\(AB=AH\) (\(\Delta ABI=\Delta AHI\) - câu a)

\(\widehat{ABC}=\widehat{AHK}\left(=90^{^O}\right)\)

=> \(\Delta ABC=\Delta AHK\left(g.c.g\right)\)

=> \(\widehat{ACB}=\widehat{AHK}\) (2 góc tương ứng) (**)

Xét \(\Delta BIK,\Delta HIC\) có :

\(\widehat{BKI}=\widehat{HCI}\) (do \(\widehat{ACB}=\widehat{AHK}\) - cmt)

\(BI=IH\) [từ (*)]

\(\widehat{BIK}=\widehat{HIC}\) (đối đỉnh)

=> \(\Delta BIK=\Delta HIC\left(g.c.g\right)\)

=> BK = HC (2 cạnh tương ứng)

c) Xét ΔABK cân tại A(AB= AH) có :

\(\widehat{ABH}=\widehat{AHB}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta AKC\) có :

\(AK=AC\) [từ (**)]

=> \(\Delta AKC\) cân tại A

Ta có : \(\widehat{AKC}=\widehat{ACK}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{ABH}=\widehat{AKC}\left(=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\right)\)

Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị

=> \(BH//KC\)

=> đpcm