Chứng minh BE=ED=DC biết tam giác ABC cân tại A có phân giác BD và CE cắt tại I

Chứng minh :
a/
Vì BD là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\)
\(\Rightarrow\widehat{B1}=\widehat{B2}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}\)(1)
Vì CE là tia phân giác của \(\widehat{ACB}\)
\(\Rightarrow\widehat{C1}=\widehat{C2}=\dfrac{\widehat{ACB}}{2}\) (2)
Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) ( t/c t/g cân )
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{B1}=\widehat{C1}=\widehat{B2}=\widehat{C2}\)
Xét △ABD và △ACE có :
\(\widehat{BAC}\) - góc chung
AB = AC ( t/c t/g cân )
\(\widehat{B1}=\widehat{C1}\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta ACE\left(g.c.g\right)\)
⇒ BD = CE ( tương ứng )
b/ Nối A -> I
Có \(\widehat{B2}=\widehat{C2}\left(cmt\right)\)
⇒ △IBC cân tại I
\(\Rightarrow IB=IC\) ( t/c t/g cân )
Xét △ABI và △ACI có:
AB = AC ( t/c t/g cân )
\(\widehat{B1}=\widehat{C1}\left(cmt\right)\)
BI = CI ( cmt )
⇒ △ABI = △ACI ( c.g.c )
\(\Rightarrow\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\) ( tương ứng )
Mà AI nằm giữa AB và AC
⇒ AI là tia phân giác của \(\widehat{A}\)
c/
Nối E với D
Xét △EBC và △DCB có :
\(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\) ( t/c t/g cân )
BC - cạnh chung
\(\widehat{C2}=\widehat{B2}\) ( cmt )
⇒ △EBC = △DCB ( g.c.g )
⇒ EB = DC ( tương ứng )
*) E ϵ AB ⇒ E nằm giữa A và B
⇒ AE + EB = AB
⇒ AE = AB - EB
*) D ϵ AC ⇒ D nằm giữa A và C
⇒ AD + DC = AC
⇒ AD = AC - DC
Mà AB = AC ( cmt ) ; EB = DC ( cmt )
⇒ AE = AD
⇒ △AED cân tại A
*)Xét △AED
\(\widehat{AED}=\widehat{ADE}=\dfrac{180^o-\widehat{EAD}}{2}\) ( 3 )
*) Xét △ABC
\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{180^o-\widehat{EAD}}{2}\left(4\right)\)
Từ (3) và (4) \(\Rightarrow\widehat{ADE}=\widehat{ACB}\)
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị
⇒ ED // BC ( dấu hiệu nhận biết )
\(\Rightarrow\widehat{EDB}=\widehat{B2}\) ( so le trong )
Mà \(\widehat{B2}=\widehat{B1}\Rightarrow\widehat{B1}=\widehat{EDB}\)
\(\Rightarrow\Delta EBD\text{ cân tại E}\)
⇒ EB = ED ( t/c t/g cân )
Mà EB = CD ⇒ EB = ED = CD