Chứng minh BE=CD biết tam giác ABC cân tại A và AD=AE

a. \(\Delta ABE\) và \(\Delta ACD\) có: \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\left(gt\right)\\\widehat{BAC}\\AE=AD\left(gt\right)\end{matrix}\right.chung\)

\(\Rightarrow\Delta ABE=\Delta ACD\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow BE=CD\) (2 cạnh tương ứng)

b. \(\Delta ABC\) cân tại A nên:\(\widehat{ABC}=A\widehat{CB}\) (*)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^0-\widehat{BAC}\)

Từ (*) ta suy ra \(\widehat{ABC}=\dfrac{180^0-\widehat{BAC}}{2}\)(1)

Vì \(AD=AE\) nên \(\Delta ADE\) cân tại A

\(\Rightarrow\widehat{ADE}=\widehat{AED}\)

Tương tự ta cũng có: \(\widehat{ADE}=\dfrac{180^0-\widehat{BAC}}{2}\)(2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: \(\widehat{ABC}=\widehat{ADE}\)

\(\Rightarrow DE\)// BC(vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)

c. Vì \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\\AD=AE\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AB-AD=AC-AE\)

\(\Rightarrow BD=CE\)

Vì \(\widehat{ADE}=\widehat{AED}\) (c/m câu a) nên

\(\Rightarrow180^0-\widehat{ADE}=180^0-\widehat{AED}\)

\(\Rightarrow\widehat{BDE}=\widehat{CED}\) (3)

\(\Delta BED\) và \(\Delta CDE\) có: \(\left\{{}\begin{matrix}BD=CE\left(gt\right)\\\widehat{BDE}=\widehat{CED}\\DE\end{matrix}\right.\) (c/m trên)

\(\Rightarrow\Delta BED=\Delta CDE\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{DBE}=\widehat{DCE}\) (2 góc tương ứng)

\(\Rightarrow\widehat{DEB}=\widehat{CDE}\) (2 góc tương ứng)(4)

Từ (3) và (4) ta suy ra: \(\widehat{BDE}-\widehat{CDE}=\widehat{CED}-\widehat{DEB}\)

\(\Rightarrow\widehat{BDC}=\widehat{BEC}\)

\(\Delta OBD\) và \(\Delta OCE\) có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{DBE}=\widehat{DCE}\\BD=CE\\\widehat{BDC}=\widehat{BEC}\end{matrix}\right.\)(đã c/m)

\(\Rightarrow\Delta OBD=\Delta OCE\left(g.c.g\right)\)