Chứng minh BD vuông góc với CK biết tam giác ABC vuông tại A, phân giác BD

a/ Xét \(\Delta\) vuông ABD và \(\Delta\) vuông EBD có:

\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\) (BD phân giác \(\widehat{B}\) )

BD cạnh chung

Vậy \(\Delta\) vuông ABD = \(\Delta\) vuông EBD (ch-gn )

\(\Rightarrow AB=BE\) (cạnh tương ứng )

b/ Xét \(\Delta\) vuông ADK và \(\Delta\) vuông EDC có:

AD=ED (\(\Delta ABD=\Delta EBD\) )

\(\widehat{ADK}=\widehat{EDC}\) (đối đỉnh )

Vậy \(\Delta\) vuông ADK = \(\Delta\) vuông EDC (cgv-gn )

=> DK=DC (cạnh tương ứng )

c/ Ta có: BK=AB+AK (B,A,K thẳng hàng )

BC=BE+EC(B,E,C thẳng hàng )

mà \(\left\{{}\begin{matrix}AB=EB\left(cmt\right)\\AK=EC\left(\Delta vADK=\Delta vEDC\right)\end{matrix}\right.\)

=> BK=BC

Xét \(\Delta BDK\) và \(\Delta BDC\) có:

BK=BC (cmt )

BD cạnh chung

\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\left(cmt\right)\)

Vậy \(\Delta BDK=\Delta BDC\left(cgc\right)\)

=> BK=BC (cạnh tương ứng )

d/ Gọi I là giao điểm của BD và CK.

Xét \(\Delta BIK\) và \(\Delta BIC\) có:

BI cạnh chung

\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\left(cmt\right)\\ BK=BC\left(cmt\right)\)

Vậy \(\Delta BIK=\Delta BIC\left(cgc\right)\)

=> \(\widehat{BIK}=\widehat{BIC}\) (góc tương ứng )

mà \(\widehat{BIK}+\widehat{BIC}=180^o\) (kề bù )

=>\(\widehat{BIK}=\widehat{BIC}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\)

\(\Rightarrow BI\perp CK\)

hay \(BD\perp CK\)