Chứng minh BD vuông góc với AP biết các đường phân giác trong và ngoài từ N cắt MN

a) Ta có: \(\widehat{ABE}=\dfrac{1}{2}\widehat{ABQ}\) (BE là tia pg).

\(\widehat{ABN}=\dfrac{1}{2}\widehat{ABC}\) (BD là tia pg)

\(\Rightarrow\widehat{ABE}+\widehat{ABN}=\dfrac{1}{2}\widehat{ABQ}+\dfrac{1}{2}\widehat{ABC}\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{ABQ}+\widehat{ABC}\right)=\dfrac{1}{2}.180^o=90^0=\widehat{DBE}\) (xảy ra t.c 2 góc kề bù)

Áp dụng t/c đoạn thẳng nối trung điểm của 2 cạnh trong 1 tam giác thì // với cạnh còn lại

\(\rightarrow\) MN // BC hay \(MD\) // \(BC.\)

\(\Rightarrow\widehat{MDB}=\widehat{DBP}\) (so le trog)

mà \(\widehat{DBP}=\widehat{MBD}\) (tia pg)

\(\Rightarrow\widehat{MDB}=\widehat{MBD}\Rightarrow\Delta MBD\) cân tại M

\(\Rightarrow MB=MD\left(1\right)\)

Do MD // BC hay ME // BQ \(\Rightarrow\widehat{MEB}=\widehat{EBQ}\) (so le trog)

mà \(\widehat{EBQ}=\widehat{MBE}\Rightarrow\widehat{MEB}=\widehat{MBE}.\)

\(\Rightarrow\Delta MEB\) cân tại M \(\Rightarrow ME=MB\left(2\right)\)

Lại có: \(MA=MB\left(gt\right)\left(3\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right)\Rightarrow MB=MD=ME=MA.\)

Xét \(\Delta AMD;\Delta BME:\)

\(MA=MB\left(cmt\right)\)

\(\widehat{AMD}=\widehat{BME}\left(đ^2\right)\)

\(MD=ME\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta AMD=\Delta BME\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ADM}=\widehat{BEM}\)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong \(\Rightarrow AD\) // BE.

\(\Rightarrow\widehat{DBE}+\widehat{ADB}=180^o\) (trong cùng phía)

\(\Rightarrow90^o+\widehat{ADB}=180^o\Rightarrow\widehat{ADB}=90^o\)

\(\Rightarrow BD\perp AP.\)