Chứng minh BD vuông góc AC, CE vuông góc AB biết tam giác ABC đều

a,

Xét ∆BDA và ∆BDC, ta có:

+ BD là cạnh chung [gt]

+ \(\widehat{DAB}=\widehat{DCB}\) [∆ABC đều]

+ BA = BC [∆ABC đều]

=> ∆BDA = ∆BDC [c-g-c]

=> \(\widehat{BDA}=\widehat{BDC}\)

Mà hai góc đó kề bù => \(\widehat{BDA}=\widehat{BDC}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\)

=> BD ┴ AC.

Chứng minh tương tự ∆CEB = ∆CEA ta được CE┴AB

b,

Xét ∆OAE và ∆OBE, ta có:

+ EA = EB [∆CEA = ∆CEB]

+ \(\widehat{OEA}=\widehat{OEB}=90^o\) [câu a]

+ OE chung [gt]

=> ∆OEA = ∆OEB [c-g-c]

=> OA = OB [1]

Ta có: AB = AC [do ∆ABC đều]

=> \(\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}AC\Leftrightarrow BE=CD\)

\(\widehat{B}=\widehat{C}\) [∆ABC đều]

=> \(\dfrac{1}{2}\widehat{B}=\dfrac{1}{2}\widehat{C}\Leftrightarrow\widehat{OBE}=\widehat{OCD}\)

Xét ∆EOB và ∆DOC ta có:

+ \(\widehat{EOB}=\widehat{DOC}\left(đ^2\:\right)\)

+ BE = CD [cmt]

+ \(\widehat{OBE}=\widehat{OCD}\left(cmt\right)\)

=> ∆EOB = ∆DOC [g-c-g]

=> OB = OC [2]

Từ [1] và [2] => OA = OB = OC

c,

∆ABC đều \(\Rightarrow\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=60^o\)

Mà ∆OEA = ∆OEB => \(\widehat{OAE}=\widehat{OBE}=\dfrac{1}{2}\widehat{B}=30^o\)

\(\Rightarrow\widehat{AOB}=180^o-30^o\cdot2=120^o\)

Lại có: \(\widehat{OBC}=\widehat{OCB}=\dfrac{1}{2}\widehat{B}=\dfrac{1}{2}\widehat{C}=30^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BOC}=180^o-30^o\cdot2=120^o\)

Tương tự ta có \(\widehat{AOC}=120^o\)

Vậy ta có đpcm