Chứng minh BD=CE biết tam giác ABC có AB=AC, BD vuông góc AC tại D

Lời giải:

a)

Do $AB=AC$ nên tam giác $ABC$ cân. Do đó: \(\angle ABC=\angle ACB\Leftrightarrow \angle EBC=\angle DCB\) (1)

\(\Rightarrow 90^0-\angle EBC=90^0-\angle DCB\)

\(\Leftrightarrow \angle ECB=\angle DBC\) (2)

Xét tam giác $EBC$ và tam giác $DCB$ có:

\(\left\{\begin{matrix} \angle EBC=\angle DCB(\text{ theo (1)})\\ \angle ECB=\angle DBC(\text{ theo (2))}\\ BC-\text{chung}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \triangle EBC=\triangle DCB(g.c.g)\Rightarrow EC=DB\) (*)

b) Theo phần a \(\angle ECB=\angle DBC\Leftrightarrow \angle ICB=\angle IBC\)

Do đó tam giác $IBC$ cân tại $I$

\(\Rightarrow IB=IC\) (**)

Từ (*) và (**) suy ra \(EC-IC=DB-IB\Leftrightarrow EI=DI\)

c)

Kéo dài $AI$ cắt BC tại $H'$

Vì $I$ là giao điểm của đường cao $BD,CE$ nên $AH'$ cũng là đường cao của tam giác $ABC$

\(\Rightarrow AH'\perp BC\)

Ta có: \(\angle ABH'=90^0-\angle BAH'; \angle ACH'=90^0-\angle CAH'\)

Mà \(\angle ABH'=\angle ACH'\Rightarrow \angle BAH'=\angle CAH'\)

Xét tam giác $ABH'$ và tam giác $ACH'$ có:

\(\left\{\begin{matrix} \angle BAH'=\angle CAH'\\ \angle AH'B=\angle AH'C\\ AH'-\text{ chung}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \triangle ABH'=\triangle ACH'(g.c.g)\Rightarrow BH'=CH'\)

Do đó $H'$ là trung điểm của $BC$ hay $H'$ trùng $H$

Từ đó suy ra \(A,I,H\) thẳng hàng.