Chứng minh BD=CE biết BD vuông góc AC, CE vuông góc AB, BD cắt CE tại H

a. tam giác ABC cân tại A => AB=AC

=> góc ABC=ACB

Xét tam giác ECB và tam giác DBC có:

BC chung

góc BEC=CDB = 90 độ

góc EBC=DCB

=> tam giác ECB = tam giác DBC ( cạnh huyền-góc nhọn)

=> BD=CE ( 2 cạnh tương ứng)

b.tam giác ECB = tam giác DBC => góc ECB=DBC

=> tam giác HBC cân tại H

c.Xét tam giác ABH và tam giác ACH có:

AH chung

AB=AC

HB=HC ( tam giác HBC cân tại H )

=> tam giác ABH = tam giác ACH (c.c.c)

=> góc BAH=CAH

=> AH là tia phân giác

Gọi giao điểm của AH và BC là I

Xét tam giác ABI và tam giác ACI có:

AB=AC

góc ABI=ACI

góc BAI=CAI ( do AH là tia phân giác )

=> tam giác ABI = tam giác ACI ( g.c.g)

=> BI=CI (1)

Có: tam giác ABI = tam giác ACI => góc AIB=AIC

mà góc AIB+AIC=180 độ

=> góc AIB=AIC = 90 độ (2)

Từ (1) (2) => AI là đường trung trực của BC

hay AH là đường trung trực của BC

d. Xét tam giác EHB và tam giác DHC có:

góc HEB=HDC = 90 độ

góc EHB=DHC ( đối đỉnh)

HB=HC

=> tam giác EHB = tam giác DHC ( cạnh huyền-góc nhọn)

=> EB=DC

Có: BD=DK ( D là trung điểm của BK)

mà BD = EC

=> DK=EC

Xét tam giác ECB và tam giác DKC có:

EC=DK

góc CEB=KDC ( = 90 độ)

EB=DC

=> tam giác ECB = tam giác DKC (c.g.c)

=> góc ECB=DKC