Chứng minh BC song song DE biết tam giác ABC cân tại A có AH vuông góc BC

a) Xét \(\bigtriangleup ABC\) cân tại A, có:

AH là đường cao

=> AH đồng thời là đường trung tuyến

=> HB = HC

b) \(\bigtriangleup ABC\) cân tại A

=> \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

Hay: \(\widehat{DBH}=\widehat{ECH}\)

Xét \(\bigtriangleup BDH\) và \(\bigtriangleup CEH\):

Ta có: \(\left\{\begin{matrix} \widehat{BDH}=\widehat{CEH}=90^{\circ} & & & \\ HB=HC(cmt) & & & \\ \widehat{DBH}=\widehat{ECH}(cmt) & & & \end{matrix}\right.\)

Vậy: \(\bigtriangleup BDH=\bigtriangleup CEH(ch-gn)\)

=> HD = HE; \(\widehat{DHB}=\widehat{EHC}\)

=> \(\bigtriangleup HDE\) cân tại A (1)

Ta có: \(\widehat{DBH}+\widehat{DHB}=90^{\circ}\) (Hai góc phụ nhau)

Mà: \(\widehat{DBH}=30^{\circ}\)

=> \(\widehat{DHB}=60^{\circ}\)

=> \(\widehat{EHC}=\widehat{DHB}=60^{\circ}\)

Mặt khác: \(\widehat{DHB}+\widehat{DHE}+\widehat{EHC}=180^{\circ}\) (kb)

=> \(\widehat{DHE}=180^{\circ}-2\widehat{EHC}=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}\)(2)

Từ (1) và (2) => \(\bigtriangleup HDE\) là tam giác đều

d) \(\bigtriangleup BDH=\bigtriangleup CEH\) (cmt)

=> DB = EC

Ta có:\(\left\{\begin{matrix} AD+DB=AB & & & \\ AE+EC=AC & & & \\ AB=AC(gt);DB=EC(cmt) & & & \end{matrix}\right.\)

=> AD = AE

=> \(\bigtriangleup ADE\) cân tại A

=> \(\widehat{AED}=\frac{180^{\circ}-\widehat{A}}{2}\) (3)

\(\bigtriangleup ABC\) cân tại A

=> \(\widehat{ACB}=\frac{180^{\circ}-\widehat{A}}{2}\) (4)

Từ (3) và (4) => \(\widehat{AED}=\widehat{ACB}\)

.......................(nằm ở vị trí đồng vị)

=> DE // BC

Hay: BC // DE