Chứng minh AO vuông góc với BC biết tam giác ABC cân tại A có H là trung điểm của AC

a) Vì \(\Delta\)ABC cân tại A

=> AB = AC và \(\widehat{ABC}\) = \(\widehat{ACB}\)

hay \(\widehat{IBC}\) = \(\widehat{HCB}\)

Ta có: AI + IB = AB

=> AI = IB = \(\frac{AB}{2}\) (I là tđ) (1)

AH + HC = AC

=> AH = HC = \(\frac{AC}{2}\) (2)

mà AB = AC nên từ (1) và (2) suy ra:

AI = IB = AH = HC

Xét \(\Delta\)BIC và \(\Delta\)CHB có:

IB = CH (c/m trên)

\(\widehat{IBC}\) = \(\widehat{HCB}\) (c/m trên)

BC chung

=> \(\Delta\)BIC = \(\Delta\)CHB (c.g.c)

b) Vì \(\Delta\)BIC = \(\Delta\)CHB (theo câu a)

=> IC = HB (2 cạnh t/ư)

c) Gọi giao điểm của AO và BC là D

Xét \(\Delta\)ABH và \(\Delta\)ACI có:

AB = AC (câu a)

\(\widehat{BAC}\) chung

AH = AI (câu a)

=> \(\Delta\)ABH = \(\Delta\)ACI (c.g.c)

=> \(\widehat{ABH}\) = \(\widehat{ACI}\) (t/ư ) hay \(\widehat{IBO}\) = \(\widehat{HCO}\)

Do \(\Delta\)BIC = \(\Delta\)CHB (câu a)

=> \(\widehat{BIC}\) = \(\widehat{CHB}\) (t/ư)

hay \(\widehat{BIO}\) = \(\widehat{CHO}\)

Xét \(\Delta\)IOB và \(\Delta\)HOC có:

\(\widehat{BIO}\) = \(\widehat{CHO}\) (c/m trên)

IB = HC (câu a)

\(\widehat{IBO}\) = \(\widehat{HCO}\)

=> \(\Delta\)IOB = \(\Delta\)HOC (g.c.g)

=> IO = HO (2 cạnh t/ư)

Xét \(\Delta\)AOI và \(\Delta\)AOH có:

AO chung

IO = HO (c/m trên)

AI = AH (câu a)

=> \(\Delta\)AOI = \(\Delta\)AOH (c.c.c)

=> \(\widehat{IAO}\) = \(\widehat{HAO}\) (2 góc t/ư)

hay \(\widehat{BAD}\) = \(\widehat{CAD}\)

Xét \(\Delta\)ABD và \(\Delta\)ACD có:

AB = AC (câu a)

\(\widehat{BAD}\) = \(\widehat{CAD}\) (c/m trên)

AD chung

=> \(\Delta\)ABD = \(\Delta\)ACD (c.g.c)

=> \(\widehat{ADB}\) = \(\widehat{ADC}\) (2 góc t/ư)

mà \(\widehat{ADB}\) + \(\widehat{ADC}\) = 180^o (kề bù)

=> \(\widehat{ADB}\) = \(\widehat{ADC}\) = 90^o

Do đó AD \(\perp\) BC hay AO \(\perp\) BC.