Chứng minh AO là tia phân giác góc A biết O là giao điểm của BH và CK

(Hình ảnh minh họa)

a) *Xét ΔAHB và ΔAKC có:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\left(gt\right)\\\widehat{A}.l\text{à}.g\text{óc}.chung\\AH=AK\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)

⇒ ΔAHB = ΔAKC (c - g - c)

⇒ BH = CK (hai cạnh tương ứng)

b) *Vì ΔAHB = ΔAKC (cmt)

⇒ \(\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\) (hai góc tương ứng)

*Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}KB=AB-AK\\HC=AC-AH\end{matrix}\right.\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\left(gt\right)\\AK=AH\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)

⇒ KB = HC

*Xét ΔOBK và ΔOCH có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{O_1}=\widehat{O_2}\left(\text{đ}\text{ối}.\text{đ}\text{ỉnh}\right)\\KB=HC\left(cmt\right)\\\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)

⇒ ΔOBK = ΔOCH (g - c - g)

c) *Vì ΔOBK = ΔOCH (cmt)

⇒ OK = OH (hai cạnh tương ứng)

*Xét ΔAOK và ΔAOH có:

\(\left\{{}\begin{matrix}AK=AH\left(gt\right)\\OK=OH\left(cmt\right)\\AO.l\text{à}.c\text{ạnh}.chung\end{matrix}\right.\)

⇒ ΔAOK = ΔAOH (c - c - c)

⇒ \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\) (hai góc tương ứng)

*Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\left(cmt\right)\\AO.n\text{ằm}.gi\text{ữa}.AK.v\text{à}.AH\end{matrix}\right.\)

⇒ AO là tia phân giác của góc A.

d) *Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\left(cmt\right)\\AI.n\text{ằm}.gi\text{ữa}.AB.v\text{à}.AC\end{matrix}\right.\)

⇒ AI là tia phân giác của góc A

*Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}AO.l\text{à}.tia.ph\text{â}n.gi\text{ác}.c\text{ủa}.\widehat{A}\left(cmt\right)\\AI.l\text{à}.tia.ph\text{â}n.gi\text{ác}.c\text{ủa}.\widehat{A}\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)

Mà \(\widehat{A}\) chỉ có 1 tia phân giác nên AO và AI trùng nhau.

⇒ A, O, I thẳng hàng.