Chứng minh AO là tia phân giác của góc BAC biết BD vuông góc với AC, CE vuông góc với AB

a) Vì AB = AC nên \(\Delta\)ABC cân tại A

=> \(\widehat{ABC}\) = \(\widehat{ACB}\)

hay \(\widehat{EBC}\) = \(\widehat{DCB}\)

Xét \(\Delta\)CEB vuông tại E và \(\Delta\)BDC vuông tại D có:

BC chung

\(\widehat{EBC}\) = \(\widehat{DCB}\) (c/m trên)

=> \(\Delta\)CEB = \(\Delta\)BDC (ch - gn)

=> CE = BD (2 cạnh t/ư)

b) Vì \(\Delta\)CEB = \(\Delta\)BDC (câu a)

=> EB = DC (2 cạnh t/ư)

Ta có: AE + EB = AB

AD + DC = AC

mà EB = DC; AB = AC

= > AE = AD

Xét \(\Delta\)AEC và \(\Delta\)ADB có:

AE = AD (c/m trên)

\(\widehat{A}\) chung

AC = AB (gt)

=> \(\Delta\)AEC = \(\Delta\)ADB (c.g.c)

=> \(\widehat{ACE}\) = \(\widehat{ABD}\) (2 góc t/ư)

hay \(\widehat{DCO}\) = \(\widehat{EBO}\)

Xét \(\Delta\)OEB và \(\Delta\)ODC có:

\(\widehat{EBO}\) = \(\widehat{DCO}\) (c/m trên)

EB = DC (c/m trên)

\(\widehat{BEO}\) = \(\widehat{CDO}\) (= 90^o)

=> \(\Delta\)OEB = \(\Delta\)ODC (g.c.g)

c) Do \(\Delta\)OEB = \(\Delta\)ODC (câu b)

=> OE = OD (2 cạnh t/ư)

Xét \(\Delta\)EAO và \(\Delta\)DAO có:

EA = DA (c/m trên)

AO chung

EO = DO (c/m trên)

=> \(\Delta\)EAO = \(\Delta\)DAO (c.c.c)

=> \(\widehat{EAO}\) = \(\widehat{DAO}\) (2 góc t/ư)

Do đó AO là tia pg của \(\widehat{BAC}\).