Chứng minh AN//EM biết 2 đường thẳng DE và MI cắt nhau tại A

(Hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa, không đúng với số liệu đã cho)

a)

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác MNI, có:

\(NI^2=MN^2+MI^2\)

\(\Rightarrow NI^2=6^2+8^2=100\)

\(\Rightarrow NI=\sqrt{100}=10\left(cm\right)\)

b)

Xét \(\Delta DMI\) và \(\Delta DEI\), có:

\(\widehat{DMI}=\widehat{DEI}=90^0\)

DI là cạnh chung

\(\widehat{MID}=\widehat{EID}\) (ID là tia phân giác của \(\widehat{MIN}\))

\(\Rightarrow\Delta DMI=\Delta DEI\) (cạnh huyền_góc nhọn)

\(\Rightarrow DM=DE\) (Hai cạnh tương ứng)

\(\Rightarrowđpcm\)

c)

Xét \(\Delta DAM\) và \(\Delta DNE\), có:

\(\widehat{DMA}=\widehat{DEN}=90^0\)

\(DM=DE\) (\(\Delta DMI=\Delta DEI\))

\(\widehat{ADM}=\widehat{EDM}\) (Hai góc đối đỉnh)

\(\Rightarrow\Delta DAM=\Delta DNE\) (cạnh góc vuông_góc nhọn kề)

\(\Rightarrow AM=NE\) (Hai cạnh tương ứng)

Mà \(IM=IE\) (\(\Rightarrow\Delta DMI=\Delta DEI\))

\(\Leftrightarrow AM+IM=NE+IE\)

Hay \(IA=IN\)

\(\Rightarrow\Delta IAN\) cân tại I

\(\Rightarrow\widehat{IAN}=\dfrac{180^0-\widehat{AIN}}{2}\) (1)

Lại có: \(IM=IE\) (\(\Rightarrow\Delta DMI=\Delta DEI\))

\(\Rightarrow\Delta IEM\) cân tại I

\(\Rightarrow\widehat{IME}=\dfrac{180^0-\widehat{AIN}}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{IAN}=\widehat{IME}\)

\(\Rightarrow\) AN // EM ( Vì có hai góc đồng vị bằng nhau)

\(\Rightarrowđpcm\)

Chúc bạn học tốt!