Chứng minh AM là đường trung trực của EF biết tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm của BC

Ta có hình vẽ:

a/ Xét 2\(\Delta vuông\): \(\Delta BEM\) và \(\Delta CFMcó\):

BM = CM (gt)

\(\widehat{B}=\widehat{C}\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)

=> \(\Delta BEM=\Delta CFM\left(ch-gn\right)\left(đpcm\right)\)

b/ Xét \(\Delta ABMvà\Delta ACM\) có:

AM: chung

AB = AC (\(\Delta ABC\) cân tại A)

BM = CM (gt)

=> \(\Delta ABM=\Delta ACM\left(c-c-c\right)\)

=> \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\) (g t/ứng)

Gọi giao điêm của AM và EF là K

Ta có: AE + BE = AB

AF + CF = AC

mà BE = CF( \(\Delta BEM=\Delta CFM\) ) ; AB = AC (đã cm)

Xét \(\Delta AEK\) và \(\Delta AFK\) có:

AK: chung

\(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\left(cmt\right)\)

AE = AF (cmt)

=> \(\Delta AEK=\Delta AFK\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}EK=FK\left(1\right)\\\widehat{EKA}=\widehat{FAK}\end{matrix}\right.\)

Có: \(\widehat{EKA}=\widehat{FKA}\) mà \(\widehat{EKA}+\widehat{FKA}=180^o\) (kề bù)

=> \(\widehat{EKA}=\widehat{FKA}=90^o\)

=> AK _l_ EF

Từ (1) và (2) => AK là trung trực của EF

=> AM là trung trực của EF (đpcm)