Chứng minh AM=1/2EF biết Ax vuông góc AB, Ay vuông góc AC

Hình tự vẽ.

a) Kẻ MN là tia đối của tia MA sao cho AM = NM; nối B với N; kéo dài tia đối của tia AM cắt EF tại I.

Xét \(\Delta AMC\) và \(\Delta NMB\) có:

AM = NM

\(\widehat{AMC}=\widehat{NMB}\) (đối đỉnh)

MC = MB (suy từ gt)

\(\Rightarrow\Delta AMC=\Delta NMB\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{CAM}=\widehat{BNM}\) (2 góc t/ư)

mà 2 góc ở vị trí so le trong nên AC // BN

\(\Rightarrow\widehat{CAB}+\widehat{ABN}=180^o\) (trong cùng phía) (3)

Ta có: \(\widehat{BAN}+\widehat{BAE}+\widehat{EAI}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BAN}+\widehat{EAI}=90^o\) (1)

\(\widehat{CAN}+\widehat{CAF}+\widehat{FAI}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{CAN}+\widehat{FAI}=90^o\) (2)

Cộng vế (1) và (2) ta đc:

\(\widehat{BAN}+\widehat{EAI}+\widehat{CAN}+\widehat{FAI}=90^o+90^o\)

\(\Rightarrow\left(\widehat{BAN}+\widehat{CAN}\right)+\left(\widehat{EAI}+\widehat{FAI}\right)=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{CAB}+\widehat{EAF}\) \(=180^o\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra:

\(\widehat{CAB}+\widehat{ABN}=\widehat{CAB}+\widehat{EAF}\)

\(\Rightarrow\widehat{ABN}=\widehat{EAF}\)

Do \(\Delta AMC=\Delta NMB\)

\(\Rightarrow AC=NB\) (2 cạnh t/ư)

mà AC = AF

\(\Rightarrow NB=AF\)

Xét \(\Delta ABN\) và \(\Delta EAF\) có:

AB = EA (gt)

\(\widehat{ABN}=\widehat{EAF}\) (c/m trên)

NB = AF (c/m trên)

\(\Rightarrow\Delta ABN=\Delta EAF\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow AN=EF\) (2 góc t/ư)

mà AM = \(\frac{1}{2}AN\) (AM = MN \(\Rightarrow M\) là tđ)

\(\Rightarrow AM=\frac{1}{2}EF\)