Chứng minh AK là tia phân giác của góc HAC biết tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác BD

a) Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông, ta có:
BC² = AB² + AC²
\(\Rightarrow\) BC² = 6² + 8²
\(\Rightarrow\) BC² = 100
\(\Rightarrow\) BC² = \(\sqrt{100}=10\)
Vậy BC = 10cm.

b) Hai tam giác vuông AEB và KEB có:
\(\widehat{ABD}=\widehat{KBD}\) (BD là tia phân giác của \(\widehat{B}\))
BE là cạnh chung
\(\Rightarrow\) \(\Delta AEB=\Delta KEB\) (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)
\(\Rightarrow\) AB = AK (hai cạnh tương ứng)
\(\Rightarrow\) \(\Delta ABK\) cân tại A
Vậy tam giác ABK là tam giác cân.

c) \(\Delta ABD\) và \(\Delta KBD\) có:
BA = BK (\(\Delta AEB=\Delta KEB\))
\(\widehat{ABD}=\widehat{KBD}\) (BD là tia phân giác của \(\widehat{B}\))
BD là cạnh chung
\(\Rightarrow\) \(\Delta ABD=\Delta KBD\) (c.g.c)
\(\Rightarrow\)\(\widehat{BAD}=\widehat{BKD}\)
mà \(\widehat{BAD}\) \(=90^o\)(tam giác ABC vuông tại A)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{BKD}\) \(=90^o\)
\(\Rightarrow\) DK \(\perp\) BC

d) Hai tam giác vuông AED và KED có:
DA = DK (\(\Delta ABD=\Delta KBD\))
ED là cạnh chung
\(\Rightarrow\) \(\Delta AED=\Delta KED\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{DAE}\) = \(\widehat{DKE}\) (hai góc tương ứng)
Ta có: AH \(\perp\) BC, DK \(\perp\) BC
\(\Rightarrow\) AH // DK
\(\Rightarrow\) \(\widehat{EAH}\) = \(\widehat{DKE}\) (hai góc so le trong)
mà \(\widehat{DAE}\) = \(\widehat{DKE}\) (cmt)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{EAH}\) = \(\widehat{DAE}\) (cùng bằng \(\widehat{DKE}\))
\(\Rightarrow\) AK là tia phân giác của góc HAC