Chứng minh AI vuông góc với BC biết tam giác ABC có AB=AC và I là trung điểm BC

a) Xét \(\Delta ABI\) và \(\Delta ACI\), ta có:

AB=AC ( gt)

AI chung

IB=IC ( vì I là trung điểm của BC)

\(\Rightarrow\Delta ABI=\Delta ACI\) ( c-c-c)

\(\Rightarrow\widehat{ABI}=\widehat{ACI}\) ( 2 góc tương ứng) (đpcm)

\(\Rightarrow\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\) ( 2 góc tương ứng) hay AI là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)(đpcm)

b) Ta có: \(\widehat{ACI}+\widehat{ACN}=180^0\) ( kề bù)

\(\widehat{ABI}+\widehat{ABM}=180^0\) (kề bù)

mà \(\widehat{ACI}=\widehat{ABI}\) (cmt) nên\(\widehat{ACN}=\widehat{ABM}\)

Xét \(\Delta ACN\) và \(\Delta ABM\), ta có:

AC=AB (gt)

\(\widehat{ACN}=\widehat{ABM}\) (cmt)

CN=BM (gt)

\(\Rightarrow\Delta ACN=\Delta ABM\) (c-g-c)

\(\Rightarrow AM=AN\) ( 2 cạnh tương ứng)

c) Vì \(\Delta ABI=\Delta ACI\) nên \(\widehat{AIB}=\widehat{AIC}\) (2 góc tương ứng)

Ta có: \(\widehat{AIB}+\widehat{AIC}=180^0\)

mà \(\widehat{AIB}=\widehat{AIC}\) nên \(\widehat{AIB}=\widehat{AIC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)

hay AI vương góc với BC