Chứng minh AI vuông góc với BC biết tam giác ABC cân tại A, M và M, N là trung điểm AC, AB

bởi Phan Thị Trinh 26/04/2019

Cho tam giác ABC cân tại A.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AC,AB

a) CM: BM=CN và góc ABM=góc ACN

b) Gọi I là giao điểm của BM và CN.Chứng minh tam giác IBC cân

c) CM: AI là tia phân giác của góc A

d) CM: AI vuông góc với BC

Câu trả lời (1)

  • Hình tự vẽ.

    a) Vì \(\Delta ABC\) cân tại A

    \(\Rightarrow AB=AC\)\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

    hay \(\widehat{NBC}=\widehat{MCB}\)

    Ta có: AN = NB = \(\frac{1}{2}AB\) (N là tđ)

    AM = MC = \(\frac{1}{2}AC\) (M là tđ)

    \(\Rightarrow AN=NB=AM=MC\)

    Xét \(\Delta NBC\)\(\Delta MCB\) có:

    NB = MC (c/m trên)

    \(\widehat{NBC}=\widehat{MCB}\) (c/m trên)

    BC chung

    \(\Rightarrow\Delta NBC=\Delta MCB\left(c.g.c\right)\)

    \(\Rightarrow NC=MB\) (2 cạnh t/ư)

    \(\widehat{NCB}=\widehat{MBC}\) (2 góc t/ư)

    Lại có: \(\widehat{ABM}+\widehat{MBC}=\widehat{ABC}\)

    \(\widehat{ACN}+\widehat{NCB}=\widehat{ACB}\)

    \(\widehat{NCB}=\widehat{MBC}\) ; \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

    \(\Rightarrow\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)
    b) Ta có: \(\widehat{NCB}=\widehat{MBC}\) (câu a)
    hay \(\widehat{ICB}=\widehat{IBC}\)
    Do đó \(\Delta IBC\) cân tại I.
    c) Do \(\Delta NBC=\Delta MCB\)
    \(\Rightarrow\widehat{BNC}=\widehat{CMB}\) (2 góc t/ư) hay \(\widehat{BNI}=\widehat{CMI}\)
    Xét \(\Delta ABM\)\(\Delta ACN\) có:
    AM = AN (câu a)
    \(\widehat{A}\) \(chung\)
    AB = AC (câu a)
    \(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta ACN\left(c.g.c\right)\)
    \(\Rightarrow\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\) (2 góc t/ư)
    hay \(\widehat{NBI}=\widehat{MCI}\)
    Xét \(\Delta BNI\)\(\Delta CMI\) có:

    \(\widehat{NBI}=\widehat{MCI}\) (c/m trên)

    NB = MC (câu a)

    \(\widehat{BNI}=\widehat{CMI}\) (c/m trên)

    \(\Rightarrow\Delta BNI=\Delta CMI\left(g.c.g\right)\)

    \(\Rightarrow NI=MI\) (2 cạnh t/ư)

    Xét \(\Delta\)NAI và \(\Delta MAI\) có:

    AN = AM (câu a)

    AI chung

    NI = MI (c/m trên)

    \(\Rightarrow\Delta\)NAI = \(\Delta MAI\left(c.c.c\right)\)

    \(\Rightarrow\widehat{NAI}=\widehat{MAI}\) (2 góc t/ư)

    Do đó AI là tia pg của \(\widehat{A}\).

    d) Gọi giao điểm của AI và CB là D

    Ta lại có: \(\widehat{NAI}=\widehat{MAI}\)

    hay \(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\)

    Xét \(\Delta ABD\)\(\Delta ACD\) có:

    AB = AC (câu a)

    \(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\) (c/m trên)

    AD chung

    \(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta ACD\left(c.g.c\right)\)

    \(\Rightarrow\widehat{ADB}=\widehat{ADC}\) (2 góc t/ư)

    \(\widehat{ADB}+\widehat{ADC}=180^o\) (kề bù)

    \(\Rightarrow\widehat{ADB}=\widehat{ADC}\) = \(\frac{180^o}{2}=90^o\)

    Do đó AI \(\perp BC.\)

    bởi Duy Anh Pham 26/04/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Mời gia nhập Biệt đội Ninja247

Gửi câu trả lời Hủy

Video HD đặt và trả lời câu hỏi - Tích lũy điểm thưởng

Các câu hỏi có liên quan