Chứng minh AI vuông góc BC biết tam giác ABC cân tại A

a) Ta có: \(AN=BN=\frac{1}{2}AB\) (N là tđ)

\(AM=CM=\frac{1}{2}AC\) (M là tđ)

mà \(AB=AC\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)

\(\Rightarrow AN=BN=AM=CM\)

Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ACN\) có:

AM = AN (c/m trên)

\(\widehat{A}\) chung

AB = AC

\(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta ACN\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow BM=CN\) và \(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)

b) Lại có: \(\widehat{ABC}-\widehat{ABM}=\widehat{ACB}-\widehat{ACN}\)

\(\Rightarrow\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)

\(\Rightarrow\Delta IBC\) cân tại I

c) Do \(\Delta IBC\) cân tại I

\(\Rightarrow IB=IC\)

Xét \(\Delta BAI\) và \(\Delta CAI\) có:

AB = AC

AI cạnh chung

BI = CI (c/m trên)

\(\Rightarrow\Delta BAI=\Delta CAI\left(c.c.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\)

\(\Rightarrow AI\) là tia pg của \(\widehat{A}.\)

d) Gọi giao điểm của AI và BC là E

Ta lại có: \(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\) (câu c)

hay \(\widehat{BAE}=\widehat{CAE}\)

Xét \(\Delta BEA\) và \(\Delta CEA\) có:

AB = AC

\(\widehat{BAE}=\widehat{CAE}\) (c/m trên)

AE cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta BEA=\Delta CEA\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BEA}=\widehat{CEA}\)

mà \(\widehat{BEA}+\widehat{CEA}=180^o\) (kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{BEA}=\widehat{CEA}\) = \(\frac{180^o}{2}=90^o\)

\(\Rightarrow AE\perp BC\) hay \(AI\perp BC\)