Chứng minh AI vuông góc AK biết tam giác ABC có A nhọn có đường cao BD, CE

Lời giải:

Hình vẽ.

a)

Ta có:

\(\angle ABI=180^0-\angle ABD=180^0-(90^0-\angle A)=90^0+\angle A\)

\(\angle KCA=180^0-\angle ACE=180^0-(90^0-\angle A)=90^0+\angle A\)

\(\Rightarrow \angle ABI=\angle KCA\)

Xét tam giác $ABI$ và $KCA$ ta có:

\(\left\{\begin{matrix} AB=KC\\ BI=CA\\ \angle ABI=\angle KCA\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle ABI=\triangle KCA(c.g.c)\)

\(\Rightarrow AI=KA\)

Ta có đpcm.

b)

Theo phần a vì \(\triangle ABI=\triangle KCA\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \angle BAI=\angle CKA\\ \angle BIA=\angle CAK\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \angle BAI+\angle CAK=\angle CKA+\angle BIA\) (1)

Có:

\(\left\{\begin{matrix} \angle BAI+\angle BIA=\angle ABD=90^0-\angle BAC\\ \angle CAK+\angle CKA=\angle ACE=90^0-\angle BAC\end{matrix}\right.\)

Cộng hai vế:

\((\angle BAI+\angle CAK)+(\angle BIA+\angle CKA)=180^0-2\angle BAC\) (2)

Từ (1);(2) suy ra:

\(2(\angle BAI+\angle CAK)=180^0-2\angle BAC\)

\(\Leftrightarrow \angle BAI+\angle CAK=90^0-\angle BAC\)

\(\Leftrightarrow \angle IAK=\angle BAI+\angle BAC+\angle CAK=90^0\)

Do đó \(AI\perp AK\)