Chứng minh AI là đường trung trực của BC biết tam giác ABC cân tại A

a) Có : \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (tính chất tam giác cân)

Mà : \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABE}=\widehat{EBC}\\\widehat{ACD}=\widehat{DCB}\end{matrix}\right.\)(gt)

=> \(\widehat{ABE}=\widehat{ACD}\)

Xét \(\Delta ABE;\Delta ADC\) có :

\(\widehat{ABE}=\widehat{ACD}\left(cmt\right)\)

\(AB=AC\) (do \(\Delta ABC\) cân)

\(\widehat{A}:chung\)

=> \(\Delta ABE=\Delta ADC\left(g.c.g\right)\)

=> \(BD=CE\) (2 góc tương ứng)

b) Xét \(\Delta BDC;\Delta CEB\) có :

\(\widehat{BDC}=\widehat{ECB}\) (cmt)

\(BC:chung\)

\(\widehat{BCD}=\widehat{CBE}\left(cmt\right)\)

=> \(\Delta BDC=\Delta CEB\left(g.c.g\right)\)

=> \(\widehat{BDC}=\widehat{CEB}\) (2 góc tương ứng)

=> \(DB=EC\) (2 cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta BID;\Delta CIE\) có :

\(\widehat{DBI}=\widehat{ECI}\) (cmt)

\(DB=EC\left(cmt\right)\)

\(\widehat{BDI}=\widehat{CEI}\left(do\widehat{BDC}=\widehat{CED}-cmt\right)\)

=> \(\Delta BID=\Delta CIE\left(g.c.g\right)\)

c) Xét \(\Delta AIB;\Delta AIC\) có :

\(AB=AC\left(gt\right)\)

\(AI:chung\)

\(BI=CI\left(do\Delta BID=\Delta CIE-cmt\right)\)

=> \(\Delta AIB=\Delta AIC\left(c.c.c\right)\)

=> \(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\) (2 góc tương ứng)

=> AI là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\)

Mà hơn nữa : \(\Delta ABC\) cân tại A

=> AI đồng thời là đường trung trực của \(\Delta ABC\)

Hay : AI là đường trung trực của BC