Chứng minh AE=AF biết tam giác ABC có AB < 1/2AC, M là trung điểm BC

✳️ C/m AE = AF

Xét ∆ vuông AHE và ∆ vuông AHF ( góc AHE = góc AHF = 90° ) có:

AH chung

Góc EAH = góc FAH (Ax là p/g)

➡️∆ vuông AHE = ∆ vuông AHF (cv - gnk)

➡️AE = AF (2 cạnh t/ư)

✳️ C/m BE = BI

Xét ∆ AHE = ∆ AHF (cmt)

➡️Góc AEH = góc AFH (2 góc t/ư)

mà góc AFH = góc MFC (đối đỉnh)

➡️Góc AEH = góc MFC (1)

Vì AC song song vs By (gt)

➡️Góc MFC = góc MIB (2 góc so le trong) (2)

Từ (1) và (2) ➡️góc AEH = góc MIB

➡️∆ EBI cân tại B

➡️BE = BI (đpcm)

✳️ C/m BE = CF

Vì AC song song vs By (gt)

➡️Góc FCM = góc IBM (2 góc so le trong)

Xét ∆ FCM và ∆ IBM có:

Góc FCM = góc IBM (cmt)

MC = MB (M là trung điểm BC)

Góc FMC = góc IMB (đối đỉnh)

➡️∆ FCM = ∆ IBM (g.c.g)

➡️CF = BI (2 cạnh t/ư)

mà BE = BI (cmt)

➡️BE = CF (đpcm)

✳️ C/m CF lớn hơn BF

Xét ∆ ABC có AB nhỏ hơn 1/2 AC (gt)

➡️Góc ACB nhỏ hơn 1/2 góc ABC (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện)

mà góc FBC lớn hơn 1/2 góc ABC

➡️góc ACB nhỏ hơn góc FBC

Xét ∆ BFC có góc ACB nhỏ hơn góc FBC (cmt)

➡️BF nhỏ hơn CF (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện)

✳️ C/m góc BMF nhỏ hơn góc CMF

Xét ∆ BMF và ∆ CMF có:

MF chung

MB = MC (gt)

mà BF nhỏ hơn CF (cmt)

➡️Góc BMF nhỏ hơn góc CMF (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện)

Chúc bạn học tốt!