Chứng minh AE=(AB+AC)/2 biết tam giác ABC có AB < AC, M là trung điểm BC

Xét \(\Delta ANE\) và \(\Delta ANF\)có:

\(\widehat{ANE}=\widehat{ÀNF}=90^o\)

\(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\) (AN là phân giác góc A)

AN chung

=> \(\Delta ANE=\Delta ANF\left(CGV-GN\right)\)

=> \(\widehat{AFN}=\widehat{AEN}\) (2 góc tương ứng)

=> AE = AF( 2 cạnh tương ứng)

vậy AE = AF

b) Kẻ tia Cx // AB, NF cắt Cx tại K.Ta có:

Xét \(\Delta BME\) và \(\Delta CMK\) có:

\(\widehat{BME}=\widehat{CMK}\) (đối đỉnh)

BM = MC (M là trung điểm BC)

Vì tia Cx // AB mà NF cắt Cx tại K => CK//AB

=> \(\widehat{CKM}=\widehat{BEM}\) (so le trong)

\(\Delta BME\) có: \(\widehat{MBE}+\widehat{BEM}+\widehat{BME}=180^o\)

\(\Delta CMK\) có: \(\widehat{MCK}+\widehat{CKM}+\widehat{CMK}=180^o\)

\(\widehat{MBE}+\widehat{BEM}+\widehat{BME}=\widehat{KCM}+\widehat{CKM}+\widehat{CMK}=180^o\)

Mà \(\widehat{BME}=\widehat{CMK}\) (đối đỉnh) và \(\widehat{BEM}=\widehat{CKM}\) (so le trong)

=> \(\widehat{MBE}=\widehat{KCM}\)

=> \(\Delta BME=\Delta CMK\left(g.c.g\right)\)

=> BE = CK ( 2 cạnh tương ứng) (1)

ta lại có: \(\widehat{BEM}=\widehat{CKM}\) (so le trong)

Mà \(\widehat{AEN}=\widehat{AFN}\left(cmt\right)\) và \(\widehat{AFN}=\widehat{KFC}\) (đối đỉnh)

=> \(\widehat{CKM}=\widehat{KFC}\)

\(\Delta CFK\) có: \(\widehat{CKF}=\widehat{CFK}\left(cmt\right)\)

=> \(\Delta CFK\) cân tại C

=> CF = CK (2)

Từ 1 và 2 => CF = BE (đpcm)

c) ta có: AE = AB + BE

AF = AC - FC

mà AE = AF(cmt) => AE = AF = AB + BE = AC - FC

=> 2AE = AB + BE + AC - FC

Mà BE = FC

=> 2AE = AB + AC

=> \(AE=\dfrac{AB+AC}{2}\) (đpcm)