Chứng minh AD vuông góc FC biết trên cạnh AC lấy điểm E sao cho EA=EB

a) Xét \(\Delta\)ABD và \(\Delta\)AED có:

AB = AE (gt)

\(\widehat{BAD}\) = \(\widehat{EAD}\)(AD là tia pg)

AD chung

=> \(\Delta\)ABD = \(\Delta\)AED (c.g.c)

=> BD = ED (2 cạnh t/ư)

và \(\widehat{ABD}\) = \(\widehat{AED}\) (2 góc t/ư)

Ta có: \(\widehat{ABD}\) + \(\widehat{DBF}\) = 180^o (kề bù)

\(\widehat{AED}\) + \(\widehat{DEC}\)= 180^o (kề bù)

mà \(\widehat{ABD}\) = \(\widehat{AED}\) => \(\widehat{DBF}\) = \(\widehat{DEC}\)

Lại có: AB + BF = AF

AE + EC = AC

mà AB = AE; AF = AC => BF = EC

Xét \(\Delta\)BDF và \(\Delta\)EDC có:

BF = CE (c/m trên)

\(\widehat{DBF}\) = \(\widehat{DEC}\) (c/m trên)

BD = ED (c/m trên)

=> \(\Delta\)BDF = \(\Delta\)EDC (c.g.c)

b) Do \(\Delta\)BDF = \(\Delta\)EDC (câu a)

=> BF = EC (2 cạnh t/ư)

c) Do \(\Delta\)BDF = \(\Delta\)EDC (câu a)

=> \(\widehat{BDF}\) = \(\widehat{EDC}\) (2 góc t/ư) (1)

mà \(\widehat{BDF}\) + \(\widehat{FDC}\) = 180^o (kề bù) (2)

Thay (1) vào (2) ta đc:

\(\widehat{EDC}\) + \(\widehat{FDC}\) = 180^o (kề bù)

mà 2 góc này kề nhau nên F, D, E thẳng hàng.

d) Gọi giao điểm của AD và FC là H.

Xét \(\Delta\)AFH và \(\Delta\)ACH có:

AF = AC (gt)

\(\widehat{FAH}\) = \(\widehat{CAH}\) (tia pg)

AH chung

=> \(\Delta\)AFH = \(\Delta\)ACH (c.g.c)

=> \(\widehat{FHA}\) = \(\widehat{CHA}\) (2 góc t/ư)

mà \(\widehat{FHA}\) + \(\widehat{CHA}\) = 180^o (kề bù)

=> \(\widehat{FHA}\) = \(\widehat{CHA}\) = \(\frac{180^o}{2}\) = 90^o

Do đó AH \(\perp\) FC hay AD \(\perp\) FC.