Chứng minh AD vuông góc CE biết tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH

a) Ta có: \(B\widehat{A}H+\widehat{B}=90\) (2 góc nhọn phụ nhau trong \(\Delta ABH\)) (1)

Và \(\widehat{B}+A\widehat{C}B=90\) (2 góc nhọn phụ nhau trong \(\Delta ABC\)) (2)

Từ (1);(2) \(\Rightarrow B\widehat{A}H=A\widehat{C}B=H\widehat{C}A\)

b) Ta có:\(\Delta ABD\) Cân tại góc B (AB=BD)

\(\Rightarrow B\widehat{A}D=B\widehat{D}A\) (3)

Mặt khác: \(H\widehat{A}D+H\widehat{D}A=90\) (4)

Và \(D\widehat{A}K+D\widehat{A}B=\widehat{A}=90\) (*)

Từ (3);(4);(*)\(\Rightarrow H\widehat{A}D=D\widehat{A}K\)

Dễ thấy \(\Delta AHD=\Delta AKD\) ( \(H\widehat{A}D=D\widehat{A}K\);AD chung)

\(\Rightarrow AH=AK\)

c)Ta có: HD=DK (tam giác AHD=tam giác AKD)

Và \(H\widehat{D}E=K\widehat{DC}\) (đối đỉnh)

\(\Rightarrow\Delta\perp HED=\Delta\perp KCD\) (cạnh huyền-góc nhọn)

\(\Rightarrow KC=HE\) (**)

Theo kết quả CM của câu b và (**)

\(\Rightarrow AH+HE=AK+KC\)

\(\Leftrightarrow AE=AC\Rightarrow\Delta AEC\) cân tại A

Mà AD là đường phân giác của t/g cân AEC (\(H\widehat{A}D=K\widehat{A}D\))

Suy ra AD phải là đường cao

\(\Rightarrow\) AD vuông góc với EC