Chứng minh AB + AC = BC + DE biết D, E lần lượt là tia phân giác của BAH và CAH

Lời giải:

Kẻ \(ET\perp AC, DM\perp AB\)

Theo tính chất của đường phân giác thì \(ET=EH;DM=DH\)

Sử dụng định lý Tales, xét tam giác \(ABC\) có :

\(ET\parallel AB\Rightarrow \frac{EC}{BC}=\frac{ET}{AB}=\frac{EH}{AB}=\frac{EC+EH}{BC+AB}=\frac{HC}{BC+AB}\)

Tương tự:

\(DM\parallel AC\Rightarrow \frac{BD}{BC}=\frac{DM}{AC}=\frac{DH}{AC}=\frac{BD+DH}{AC+BC}=\frac{BH}{AC+BC}\)

Đặt \((AB,BC,AC)=(c,a,b)\)

Ta viết lại đẳng thức:

\(\frac{EH}{c}=\frac{HC}{a+c}\Rightarrow EH=\frac{c.HC}{a+c}\)

\(\frac{DH}{b}=\frac{BH}{b+a}\Rightarrow DH=\frac{BH.b}{a+b}\)

\(\Rightarrow DE=\frac{c.HC}{a+c}+\frac{BH.b}{a+b}\)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông thì:

\(b^2=AC^2=CH.BC=CH.a\Rightarrow CH=\frac{b^2}{a}\)

Tương tự: \(BH=\frac{c^2}{a}\)

\(\Rightarrow DE=\frac{b^2c}{a(a+c)}+\frac{bc^2}{a(a+b)}=\frac{b^2c(a+b)+bc^2(a+c)}{a(a+b)(a+c)}\)

\(=\frac{abc(b+c)+bc(b^2+c^2)}{a(a+b)(a+c)}=\frac{abc(b+c)+bca^2}{a(a+b)(a+c)}=\frac{bc(b+c)+abc}{(a+b)(a+c)}\)

Suy ra

\(DE+BC=DE+a=\frac{bc(b+c)+abc+a(a^2+ab+ac+bc)}{(a+b)(a+c)}=\frac{bc(b+c)+2abc+a(b^2+c^2+ab+ac)}{(a+b)(a+c)}\)

\(=\frac{ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)+2abc}{(a+b)(a+c)}=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b)(a+c)}=b+c=AB+AC\)

Ta có đpcm.