Chứng minh A, I, M thẳng hàng biết tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm BC

a) Xét \(\Delta ADB,\Delta AEC\) có :

\(\widehat{ADB}=\widehat{AEC}\left(=90^o\right)\)

\(AB=AC\) (tam giác ABC cân tại A)

\(\widehat{A}:chung\)

=> \(\Delta ADB=\Delta AEC\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> AD = AE (2 cạnh tương ứng)

b) Xét \(\Delta ADE\) có :

AD = AE (cm câu a)

=> \(\Delta ADE\) cân tại A

Ta có : \(\widehat{AED}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta ABC\) cân tại A có :

\(\widehat{ABC}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\left(=\dfrac{180^o-\widehat{A}}{2}\right)\)

Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị.

=> \(DE//BC\)

c) Xét \(\Delta AEI,\Delta ADI\) có :

AE = AD (\(\Delta AED\) cân tại A)

\(\widehat{AEI}=\widehat{ADI}\left(=90^o\right)\)

\(AI:Chung\)

=> \(\Delta AEI=\Delta ADI\left(c.g.c\right)\)

=> \(\widehat{EAI}=\widehat{DAI}\) (2 góc tương ứng)

=> AI là tia phân giác của góc A (3)

Xét \(\Delta ABM,\Delta ACM\) có :

AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

\(AM:chung\)

BM = CM (M là trung điểm của BC)

=> \(\Delta ABM=\Delta ACM\left(c.c.c\right)\)

=> \(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\) (2 góc tương ứng)

=> \(AM\) là tia phân giác của góc A (4)

Từ (3) và (4) => \(AI\equiv AM\)

=> A, I, M thẳng hàng.