Chứng minh 3 đường thẳng AC, BD, KE cùng đi qua 1 điểm biết tam giác ABC vuông ở C

a) xét \(\Delta\) ACE và \(\Delta\)AKE có:

góc ACE = góc AKE (=90 độ)

AE chung

góc CAE = góc KAE (AE là p/g của góc CAB)

=> \(\Delta\)ACE = \(\Delta\)AKE (cạnh huyền góc nhọn)

=> AC = AK (2 cạnh tương ứng)

gọi H là giao điểm của AE và CK

xét \(\Delta\) CAH và \(\Delta\)KAH có:

AC = AK (cmt)

góc CAE = góc KAE (AE là p/g của góc CAB)

AH chung

=> \(\Delta\) CAH = \(\Delta\)KAH (c.g.c)

=> góc CHA = góc KHA (2 góc tương ứng)

Mà góc CHA + góc KHA = 180 độ (2 góc kề bù)

=> góc CHA = góc KHA = \(\dfrac{180^0}{2}=90^0\)

=> AE \(\perp\) CK

c) xét \(\Delta\)ABC có:

góc ACB + góc CAB + góc ABC = 180 độ (tổng 3 góc trong\(\Delta\))

=> góc ABC = 180 độ - (góc ACB + góc CAB)

=> góc ABC = 180 độ - (90 độ + 60 độ)

=> góc ABC = 180 độ = 150 độ

=> góc ABC = 30 độ

+ Vì AE là p/g của góc CAB

=> góc CAE = góc KAE = \(\dfrac{1}{2}\widehat{BAC}\)

= \(\dfrac{1}{2}\). 60 độ = 30 độ

xét \(\Delta\)AEB có:

góc KAE = góc ABC (= 30 độ)

=> \(\Delta\)AEB cân tại E (định nghĩa \(\Delta\)cân)

=> EA = EB (2 cạnh tương ứng)

xét \(\Delta\) AKE và \(\Delta\)BKE có:

góc AKE = góc BKE (= 90 độ)

EA = EB (cmt)

EK chung

=> \(\Delta\)AKE = \(\Delta\)BKE (cạnh huyền góc nhọn)

=> KA = KB (2 cạnh tương ứng)

c) vì CA = KA (câu a)

Mà KA = KB (câu b)

=> CA = KB

xét \(\Delta\)BKE vuông tại E có:

EB là cạnh huyền

KB là cạnh góc vuông

Vì trong \(\Delta\) vuông cạnh huyền là cạnh lớn nhất

=> EB > AC