Chứng minh 3 đường AC, BD, KE cùng đi qua 1 điểm biết phân giác của BAC cắt BC tại E

\(a,Xét\Delta ACEvà\Delta AKEcó:\\ \left\{{}\begin{matrix}\widehat{AKE}=\widehat{ACE}\left(=90^0\right)\\\widehat{KAE}=\widehat{CAE}\left(=\dfrac{60^0}{2}=30^0\right)\\AElàcạnhchung\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\Delta ACE=\Delta AKE\left(ch-gn\right)\\ \Rightarrow AC=AK\left(haicạnhtươngứng\right)\)

b, Xét tam giác vuông ABC có :

\(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^0\\ Mà\widehat{C}=90^0;\widehat{A}=60^0\\ \Rightarrow\widehat{B}=180^0-90^0-60^0=30^0\)

Theo tính chất của tam giác, nếu trong một tam giác vuông có một góc nhọn bằng 30 độ thì cạnh đối diện với góc nhọn đó bằng một nửa cạnh huyền.

Áp dụng tính chất vào tam giác vuông BEK có : \(EK=\dfrac{1}{2}BK\)

Áp dụng tính chất vào tam giác vuông AEK có : \(EK=\dfrac{1}{2}AK\)

\(\Rightarrow EK=\dfrac{1}{2}KA=\dfrac{1}{2}KB\\ \Leftrightarrow KA=KB\)

c, Ta có : \(\widehat{EBA}=\widehat{EAB}=30^0\Rightarrow\Delta AEBcântạiE\\ \Rightarrow AE=BE\\ \Rightarrow EthuộcđườngtrungtrựccủaAB\)

Mà KA = KB nên K cũng thuộc đường trung trực của AB

\(\Rightarrow\)EK là đường trung trực của AB

Gọi giao điểm của AC và BD là I

Xét tam giác ABD và tam giác BAC có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ADB}=\widehat{BCA}\left(=90^0\right)\\ABlàcạnhchung\\\widehat{ABC}=\widehat{DAB}\left(=30^0\right)\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\Delta BAC=\Delta ABD\left(ch-gn\right)\\ \Rightarrow\widehat{CAB}=\widehat{DBA}\left(=60^0\right)\left(haicạnhtươngứng\right)\\ \Rightarrow\Delta AIBcântạiI\\ \Rightarrow IA=IB\)

\(\Rightarrow\)I thuộc đường trung trực của AB

\(\Rightarrow\) I thuộc EK

\(\Rightarrow\) AC, BD, KE đồng quy.