Chứng minh 3 điểm I, M, K thẳng hàng biết tam giác ABC có M là trung điểm BC

a) Xét \(\Delta MAB\) và \(\Delta MDC\) có :

AM = DM (gt)

\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\) (đối đỉnh)

CM = MB (gt)

=> \(\Delta MAB\) = \(\Delta MDC\) (c.g.c)

b) Từ \(\Delta MAB\) = \(\Delta MDC\) (cmt)

=> AB = CD (2 cạnh tương ứng)

Có : \(\widehat{ABM}=\widehat{DCM}\) (2 góc tương ứng do \(\Delta MAB\) = \(\Delta MDC\) (cmt)

Mà : 2 góc này ở vị trí so le trong

=> AB // CD (đpcm)

c) Xét \(\Delta CAB\) và \(\Delta BDC\) có :

\(AM=MD\left(gt\right)\)

\(\widehat{CMA}=\widehat{BMD}\) (đối đỉnh)

CM = MB (gt)

=> \(\Delta CAB\) = \(\Delta BDC\) (c.g.c)

Xét \(\Delta CAB\) và \(\Delta CDB\) có :

CA = BD (do \(\Delta CAB\) = \(\Delta BDC\) -cmt)

CB : chung

AB = CD (cmt)

=> \(\Delta CAB\) = \(\Delta CDB\) (c.c.c)

=> \(\widehat{BAC}=\widehat{CDB}\) (2 góc tương ứng)

d) Xét \(\Delta CMK\) và \(\Delta BMI\) có :

\(CK=IB\left(gt\right)\)

\(\widehat{MBK}=\widehat{IBM}\left(cmt\right)\)

\(CM=MB\left(gt\right)\)

=> \(\Delta CMK\) = \(\Delta BMI\) (c.g.c)

=> KM = MI (2 cạnh tương ứng)

=> M là trung điểm của KI

Do đó : I.M.K thẳng hàng