Chứng minh 3 điểm I, M, K thẳng hàng biết I là một giao điểm trên cạnh AC, K là một điểm trên cạnh BE

a)Xét \(\Delta AMC;\Delta EMB\)

\(MC=MB\) (M là trung điểm BC (gt))

\(\widehat{AMC}=\widehat{EMB}\) (đối đỉnh)

\(MA=ME\) (gt)

\(\Rightarrow\Delta AMC=\Delta EMB\left(c.g.c\right)\)

b)\(\Delta AMC=\Delta EMB\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{E_1}\) (2 góc tương ứng)

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

\(\Rightarrow AC\text{//}BE\) (dấu hiệu nhận biết)

c)Xét \(\Delta AMI;\Delta EMK\)

\(AI=EK\left(gt\right)\)

\(\widehat{A_1}=\widehat{E_1}\left(cmt\right)\)

\(MA=ME (gt)\)

\(\Rightarrow\Delta AMI=\Delta EMK\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{M_1}=\widehat{M_2}\left(\text{2 góc tương ứng}\right)\\AI=EK\left(\text{2 cạnh tương ứng}\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Delta AMC=\Delta EMB\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow AC=EB\) (2 cạnh tương ứng)

Ta có: \(AI+IC=AC\) (I nằm giữa A và C)

\(EK+KE=EB\) (K nằm giữa E và B)

Mà \(AC=EB(cmt)\)\(;AI=EK(cmt)\)

\(\Rightarrow IC=EK\)

Xét \(\Delta IMC;\Delta EMK\)

\(MC=MB\) (M là trung điểm BC (gt))

\(\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\) (2 góc tương ứng của \(\Delta AMC=\Delta EMB\left(cmt\right)\))

\(IC=EK\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta IMC=\Delta EMK\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{M_3}=\widehat{M_4}\) (2 góc tương ứng)

Ta có: \(\widehat{M_5}+\widehat{M_2}+\widehat{M_3}=180^o\) (kề bù)

Mà \(\widehat{M_3}=\widehat{M_4}\) (2 góc tương ứng)

\(\Rightarrow\widehat{M_5}+\widehat{M_2}+\widehat{M_4}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{IMN}=180^o\) hay I,M,K thẳng hàng