Chứng minh 3 điểm B, D, E thẳng hàng biết ABC vuông tại A, BD là phân giác của góc B

a) Xét \(\Delta ABD,\Delta IBD\) có :

\(\widehat{BAD}=\widehat{BID}\left(=90^{^O}\right)\)

\(BD:Chung\)

\(\widehat{ABD}=\widehat{IBD}\) (BD là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\))

=> \(\Delta ABD=\Delta IBD\left(ch-gn\right)\)

b) Ta có : \(AD\cap BD=\left\{O\right\}\)

Xét \(\Delta ABO,\Delta IBO\) có:

\(AB=BI\) (do \(\Delta ABD=\Delta IBD\left(cmt\right)\)

\(\widehat{ABO}=\widehat{IBO}\) (BD là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\))

\(BO:Chung\)

=> \(\Delta ABO=\Delta IBO\left(c.g.c\right)\)

=> \(\widehat{AOB}=\widehat{IOB}\) (2 góc tương ứng)

Mà : \(\widehat{AOB}+\widehat{IOB}=180^o\left(Kềbù\right)\)

=> \(\widehat{AOB}=\widehat{IOB}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\)

=> \(BO\perp AI\)

Hay : \(BD\perp AI\) (do O\(\in\)BD)

\(\rightarrowđpcm\)

c) Xét \(\Delta ADK,\Delta IDC\) có :

\(\widehat{DAK}=\widehat{DIC}\left(=90^{^O}\right)\)

\(AD=ID\) (do \(\Delta ABD=\Delta IBD\left(cmt\right)\)

\(\widehat{ADK}=\widehat{IDC}\) (đối đỉnh)

=> \(\Delta ADK=\Delta IDC\) (cạnh huyền -góc nhọn)

=> DK = DC (2 cạnh tương ứng)

d) Xét \(\Delta ABI\) có :

\(AB=BI\) (do \(\Delta ABD=\Delta IBD\left(cmt\right)\)

=> \(\Delta ABI\) cân tại B

Ta có : \(\widehat{BAI}=\widehat{BIA}=\dfrac{180^o-\widehat{B}}{2}\) (tổng 3 góc của 1 tam giác) (1)

Xét \(\Delta BAC,\Delta BIK\) có :

\(\widehat{B}:Chung\)

\(AB=IB\) (do \(\Delta ABD=\Delta IBD\left(cmt\right)\))

\(\widehat{BAC}=\widehat{BIK}\left(=90^o\right)\)

=> \(\Delta BAC=\Delta BIK\left(g.c.g\right)\)

=> \(\Delta BCK\) cân tại B

Ta có: \(\widehat{BKC}=\widehat{BCK}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{B}}{2}\) (tổng 3 góc của 1 tam giác) (2)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{BAI}=\widehat{BKC}\left(=\dfrac{180^{^O}-\widehat{B}}{2}\right)\)

Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị

=> AI // KC

=> đpcm.

e) Ta có : BD là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\) (gt) (3)

Xét \(\Delta BEK,\Delta BEC\) có :

\(BK=BC\) (\(\Delta BCK\) cân tại B)

\(\widehat{KBE}=\widehat{CBE}\) (gt)

\(KE=EC\) (E là trung điểm của BC)

=> \(\Delta BEK=\Delta BEC\left(c.g.c\right)\)

=> \(\widehat{KBE}=\widehat{CBE}\) (2 góc tương ứng)

=> BE là tia phân giác của \(\widehat{KBC}\)

Hay : BE là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\) (4)

Từ (3) và (4) => B, D, E thẳng hàng

=> đpcm

g) Xét \(\Delta ABC\perp A\) có :

\(BC^2=AB^2+AC^2\) (định lí PITAGO)

=> \(BC^2=6^2+8^2=100\)

=> \(BC=\sqrt{100}=10\left(cm\right)\)

Mà : \(\left\{{}\begin{matrix}AB=IB\left(cmt\right)\\I\in BC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)

=> \(BI+IC=BC\)

=> \(6+IC=10\)

=> IC = 4 (cm)

Vậy độ dài của IC là 4cm.