Chứng minh 3 điểm A, H, K thẳng hàng biết tam giác ABC có AB=AC=5cm, BC=6cm

a) Xét \(\Delta AHB,\Delta AHC\) có :

\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\left(=90^o\right)\)

AB = AC (\(\Delta ABC\) cân tại A)

\(\widehat{ABH}=\widehat{ACH}\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)

=> \(\Delta AHB=\Delta AHC\) (cạnh huyền - góc nhọn)

b) Ta có : \(BH=CH=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}.6=3\left(cm\right)\)

Xét \(\Delta ABH\perp H\) có :

\(AH^2=AB^2-BH^2\) (Định lí PYTAGO)

=> \(AH^2=5^2-3^2=16\)

=> \(AH=\sqrt{16}=4\left(cm\right)\)

Vậy AH = 4cm

c) Ta có : \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)

Lại có : \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABM}=\widehat{MBC}\left(\text{BM là tia phân giác của góc B}\right)\\\widehat{ACN}=\widehat{NCB}\left(\text{CN là tia phân giác của góc C}\right)\end{matrix}\right.\)

Suy ra : \(\widehat{ABM}=\widehat{MBC}=\widehat{ACN}=\widehat{NCB}\left(=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}\right)\)

Xét \(\Delta NBC,\Delta MCB\) có:

\(\widehat{MBC}=\widehat{MCB}\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)

\(BC:Chung\)

\(\widehat{NCB}=\widehat{MBC}\left(cmt\right)\)

=> \(\Delta NBC=\Delta MCB\left(g.c.g\right)\)

=> BN = CM (2 cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta NKB,\Delta MKC\) có :

\(\widehat{NKB}=\widehat{MKC}\) (đối đỉnh)

\(BN=MC\left(cmt\right)\)

\(\widehat{NBK}=\widehat{MCK}\) (cmt)

=> \(\Delta NKB=\Delta MKC\left(g.c.g\right)\)

=> \(BK=CK\) (2 cạnh tương ứng)

=> \(\Delta KMN\) cân tại K.

d) Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\left(\text{tam giác ABC cân tại A}\right)\\BM=CN\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)

Lại có : \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AN+BN\\AC=AM+CM\end{matrix}\right.\)

Suy ra : \(AB-BM=AC-CM\)

\(\Leftrightarrow AN=AM\)

Xét \(\Delta ANK,\Delta AMK\) có :

\(AN=AM\left(cmt\right)\)

\(NK=MK\) (\(\Delta NKB=\Delta MKC\))

\(AK:Chung\)

=> \(\Delta ANK=\Delta AMK\left(c.c.c\right)\)

=> \(\widehat{NAK}=\widehat{MAK}\) (2 góc tương ứng)

=> AK là tia phân giác của \(\widehat{A}\) (1)

Xét \(\Delta KBH,\Delta KCH\) có :

\(BK=CK\) (\(\Delta NKB=\Delta MKC\))

KH : Chung

BH = CH (\(\Delta AHB=\Delta AHC\))

=> \(\Delta KBH=\Delta KCH\left(c.c.c\right)\)

=> \(\widehat{BKH}=\widehat{CKH}\) (2 góc tương ứng)

=> KH là tia phân giác của \(\widehat{K}\) (2)

Từ (1) và (2) => \(AK\equiv KH=\left\{K\right\}\)

=> A, K , H thẳng hàng.